Упр.14.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Решение #1

Изображение 36 1) Докажите, что диагонали параллелограмма разбивают его на четыре равновеликих треугольника.2) Диагонали трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке...
Дополнительное изображение
 

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение:
36 1) Докажите, что диагонали параллелограмма разбивают его на четыре равновеликих треугольника.
2) Диагонали трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники АВО и CDO равновеликие.

Доказать: диагонали параллелограмма разбивают его на четыре
равновеликих треугольника;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный параллелограмм и O-точка пересечения
его диагоналей;
2) По свойству параллелограмма:
AB=CD, AD=BC, AO=OC и BO=OD=1/2 BD;
3) треугольник AOB = треугольник COD по третьему признаку, значит: SAOB=SCOD;
4) треугольник AOD = треугольник COB по третьему признаку, значит: SAOD=SCOB;
5) Опустим перпендикуляр AH на диагональ BD;
6) Рассмотрим треугольники AOB и AOD:
SAOB=1/2 BO•OH=1/4 BD•OH и SAOD=1/2 DO•OH=1/4 BD•OH;
Следовательно: SAOB=SAOD;
9) Получаем SAOB=SCOD=SCOB=SAOD, что и требовалось доказать.

II) Отобразим условие задачи:
Дано: диагонали трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются
в точке O;
Доказать: треугольники AOB и COD равновеликие;
Доказательство:
1) Из вершин B и C трапеции опустим высоты BB1 и CC1 на сторону AD,
они равны как расстояния между параллельными прямыми BC и AD:
BB1=CC1=h;
2) Рассмотрим треугольники ABD и DCA:
SABD=1/2 AD•BB1=1/2 AD•h и SDCA=1/2 AD•CC1=1/2 AD•h;
Следовательно: SABD=SDCA;
3) Треугольник ABD состоит из треугольника ABO и треугольника AOD, а треугольник DCA
состоит из треугольника COD и треугольника AOD, значит:
SABD=SAOB+SAOD и SACD=SCOD+SAOD;
Отсюда следует, что SAOB=SCOD, что и требовалось доказать.
*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением