Упр.14.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Решение #1

Изображение 40. Докажите, что если диагонали четырёхугольника пересекаются, то площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между...
Дополнительное изображение

Решение #2

Изображение 40. Докажите, что если диагонали четырёхугольника пересекаются, то площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между...
 

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение:
40. Докажите, что если диагонали четырёхугольника пересекаются, то площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Доказать: если диагонали четырехугольника пересекаются, то площадь
четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на
синус угла между ними;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный четырехугольник и O-точка пересечения его
диагоналей;
2) Примем острый угол между диагоналями AC и BD равным альфа:
угол DOC=угол AOB=альфа (вертикальные углы);
3) На сторону AC опустим высоту BE треугольника ABC;
4) Рассмотрим прямоугольный треугольник BOE:
sin?угол AOB=BE/OB, отсюда BE=OB•sin угла AOB= BO•sinальфа;
5) На сторону AC опустим высоту DF треугольника ADC;
6) Рассмотрим прямоугольный треугольник DOF:
sin?угол DOC=DF/OD, отсюда DF=OD•sin угла DOC=OD•sin?альфа;
7) Площадь данного четырехугольника ABCD равна сумме площадей
треугольников ABC и ADC: S=SABC+SADC;
S=1/2 AC•BE+1/2 AC•DF=1/2 AC•BO•sinальфа+1/2 AC•DO•sinальфа=
=1/2 AC•(BO+OD)•sinальфа=1/2 AC•BD•sinальфа,
Что и требовалось доказать.
*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением