Упр.11.47 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение:
47 Докажите, что геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек постоянно (не равно единице), есть окружность.
Доказать: геометрическое место точек, отношение расстояний от
которых до двух данных точек постоянно (не равно единице), есть
окружность;
Доказательство:
1) Пусть указанное отношение расстояний равно k;
2) Отметим любую точку M удовлетворяющую условию: AM/BM=k;
3) В треугольнике ABM проведем биссектрису MC, тогда по свойству
биссектрисы:
AM/AC=BM/BC => AC/BC=AM/BM=k;
То есть положение точки C не зависит от выбранной точки M;
4) Построим биссектрису внешнего угла при вершине M треугольник ABM, она
пересечет прямую AB в точке D, тогда по доказанному в задаче 11.46:
AD/BD=AM/BM=k;
То есть положение точки D также не зависит от выбранной точки M;
5) Прямые MC и MD-биссектрисы внешнего и внутреннего углов:
2угол CMB+2угол BMD = углу AMT;
2(угол CMB+ угол BMD)=180°;
2угол CMD=180°, отсюда угол CMD=90°;
6) Отметим точку O-середину отрезка CD;
7) Достроим прямоугольный треугольник CMD до прямоугольника CMDM1, тогда
O-точка пересечения диагоналей: MO=CO=OD=OM1=1/2 CD;
8) Отрезок CD не зависит от выбора точки M, значит все точки,
удовлетворяющие условию, будут равноудалены от точки O, значит
множество этих точек является окружностью (по определению), что и
требовалось доказать.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
