Упр.7.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Докажите тригонометрические тождестваС пояснением
В обоих пунктах рассматриваем значения t, при которых sin t ≠ 0 и cos t ≠ 0.а) Преобразуем числитель и знаменатель левой части:
Кратко При sin t ≠ 0 и cos t ≠ 0:а) \(\operatorname{ctg} t - \sin t\cos t = \dfrac{\cos^3 t}{\sin t}\), поэтому
\[(\sin t + \cos t)^2 - 1 = 2\sin t\cos t;\]
\[\operatorname{ctg} t - \sin t\cos t = \frac{\cos t}{\sin t} - \sin t\cos t = \frac{\cos^3 t}{\sin t}.\]
Тогда\[\frac{(\sin t + \cos t)^2 - 1}{\operatorname{ctg} t - \sin t\cos t} = \frac{2\sin t\cos t}{\cos^3 t/\sin t} = \frac{2\sin^2 t}{\cos^2 t} = 2\operatorname{tg}^2 t.\]
б) Представим каждую скобку как дробь и вынесем общий множитель:\[\sin^3 t(1 + \operatorname{ctg} t) + \cos^3 t(1 + \operatorname{tg} t) =\]
\[= \sin^3 t \cdot \frac{\sin t + \cos t}{\sin t} + \cos^3 t \cdot \frac{\sin t + \cos t}{\cos t} =\]
\[= (\sin t + \cos t)(\sin^2 t + \cos^2 t) = \sin t + \cos t.\]
Ответ: тождества доказаны.Кратко При sin t ≠ 0 и cos t ≠ 0:а) \(\operatorname{ctg} t - \sin t\cos t = \dfrac{\cos^3 t}{\sin t}\), поэтому
\[\frac{(\sin t + \cos t)^2 - 1}{\operatorname{ctg} t - \sin t\cos t} = \frac{2\sin t\cos t}{\cos^3 t/\sin t} = 2\operatorname{tg}^2 t.\]
б) \[\sin^3 t(1 + \operatorname{ctg} t) + \cos^3 t(1 + \operatorname{tg} t) =\]\[\sin^2 t(\sin t + \cos t) + \cos^2 t(\sin t + \cos t) =\]
\[(\sin t + \cos t)(\sin^2 t + \cos^2 t) = \sin t + \cos t.\]
Ответ: тождества доказаны.Тождества верны при всех допустимых значениях t.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
а) (sin t + cos t)^2 - 1 = 2tg^2(t);
6) sin^3(t) * (1 + ctg t) + cos^3(t) * (1 + tg t) = sin t + cos t.
