Упр.7.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Вычислите сумму квадратов тангенса и котангенсаС пояснением
Так как \(\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = 1\), применим формулу квадрата суммы:
\(\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t = (\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)^2 - 2 \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = 2{,}3^2 - 2 = 3{,}29\).
Ответ: 3,29.
Кратко \(\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t = (\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)^2 - 2 \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = 2{,}3^2 - 2 = 3{,}29\).
Ответ: 3,29.
\(\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t = (\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)^2 - 2 \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = 2{,}3^2 - 2 = 3{,}29\).
Ответ: 3,29.
Кратко \(\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t = (\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)^2 - 2 \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = 2{,}3^2 - 2 = 3{,}29\).
Ответ: 3,29.
Поскольку тангенс и котангенс определены,
\[\operatorname{tg}t+\operatorname{ctg}t=\frac{\sin t}{\cos t}+\frac{\cos t}{\sin t}=\frac{\sin^2t+\cos^2t}{\sin t\cos t}=\frac1{\sin t\cos t}.\]
Следовательно,\[\sin t\cos t=\frac1{2{,}3}=\frac{10}{23}.\]
Теперь\[\operatorname{tg}^2t+\operatorname{ctg}^2t=\frac{\sin^4t+\cos^4t}{\sin^2t\cos^2t}.\]
При этом\[\sin^4t+\cos^4t=(\sin^2t+\cos^2t)^2-2\sin^2t\cos^2t=1-2\cdot\frac{100}{529}=\frac{329}{529}.\]
Поэтому\[\operatorname{tg}^2t+\operatorname{ctg}^2t=\frac{329/529}{100/529}=\frac{329}{100}=3{,}29.\]
Ответ: \(3{,}29\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Известно, что tg t + ctg t = 2,3. Вычислите tg^2(t) + ctg^2(t).
