Упр.7.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Докажите тригонометрические тождестваС пояснением
а) Преобразуем правую часть, используя \(\operatorname{ctg} t = \cos t/\sin t\):
\(\displaystyle \frac{\cos t + \operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t} = \frac{\cos t}{\operatorname{ctg} t} + 1 = \sin t + 1\).б) Умножим числитель и знаменатель левой части на 1 + sin t:
\(\displaystyle \frac{1 - \sin t}{\cos t} = \frac{1 - \sin^2 t}{\cos t(1 + \sin t)} = \frac{\cos t}{1 + \sin t}\).в) Преобразуем левую часть, используя \(\operatorname{tg} t = \sin t/\cos t\):
\(\displaystyle \frac{\sin t + \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t} = \frac{\sin t}{\operatorname{tg} t} + 1 = \cos t + 1\).г) Умножим числитель и знаменатель левой части на 1 + cos t:
\(\displaystyle \frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{\sin t(1 + \cos t)}{1 - \cos^2 t} = \frac{1 + \cos t}{\sin t}\).Ответ: все тождества доказаны на общих областях определения их частей.
Кратко а) \((\cos t + \operatorname{ctg} t)/\operatorname{ctg} t = \cos t/\operatorname{ctg} t + 1 = \sin t + 1\).
б) \((1 − \sin t)/\cos t = (1 − \sin^2 t)/(\cos t(1 + \sin t)) = \cos t/(1 + \sin t)\).
в) \(\frac{\sin t + \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t} = \frac{\sin t}{\operatorname{tg} t} + 1 = \cos t + 1\).
г) \(\frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{\sin t(1 + \cos t)}{1 - \cos^2 t} = \frac{1 + \cos t}{\sin t}\).Ответ: тождества доказаны на общих областях определения.
\(\displaystyle \frac{\cos t + \operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t} = \frac{\cos t}{\operatorname{ctg} t} + 1 = \sin t + 1\).б) Умножим числитель и знаменатель левой части на 1 + sin t:
\(\displaystyle \frac{1 - \sin t}{\cos t} = \frac{1 - \sin^2 t}{\cos t(1 + \sin t)} = \frac{\cos t}{1 + \sin t}\).в) Преобразуем левую часть, используя \(\operatorname{tg} t = \sin t/\cos t\):
\(\displaystyle \frac{\sin t + \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t} = \frac{\sin t}{\operatorname{tg} t} + 1 = \cos t + 1\).г) Умножим числитель и знаменатель левой части на 1 + cos t:
\(\displaystyle \frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{\sin t(1 + \cos t)}{1 - \cos^2 t} = \frac{1 + \cos t}{\sin t}\).Ответ: все тождества доказаны на общих областях определения их частей.
Кратко а) \((\cos t + \operatorname{ctg} t)/\operatorname{ctg} t = \cos t/\operatorname{ctg} t + 1 = \sin t + 1\).
б) \((1 − \sin t)/\cos t = (1 − \sin^2 t)/(\cos t(1 + \sin t)) = \cos t/(1 + \sin t)\).
в) \(\frac{\sin t + \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t} = \frac{\sin t}{\operatorname{tg} t} + 1 = \cos t + 1\).
г) \(\frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{\sin t(1 + \cos t)}{1 - \cos^2 t} = \frac{1 + \cos t}{\sin t}\).Ответ: тождества доказаны на общих областях определения.
Положим \(s=\sin(t/2)\), \(c=\cos(t/2)\). Тогда \(\sin t=2sc\), \(\cos t=c^2-s^2\) и \(s^2+c^2=1\).а) На общей области определения sin t≠0 и cos t≠0. Поэтому
\(\displaystyle \operatorname{ctg} t=\dfrac{c^2-s^2}{2sc}\),
\(\displaystyle \operatorname{ctg} t=\dfrac{c^2-s^2}{2sc}\),
\[\frac{\cos t+\operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t}\]
\[=\frac{(c^2-s^2)+\frac{c^2-s^2}{2sc}}{\frac{c^2-s^2}{2sc}}\]
\[=1+2sc\]
\[=1+\sin t.\]
б) При cos t≠0 имеем\[\frac{1-\sin t}{\cos t}\]
\[=\frac{s^2+c^2-2sc}{c^2-s^2}\]
\[=\frac{(c-s)^2}{(c-s)(c+s)}\]
\[=\frac{c-s}{c+s}.\]
С другой стороны,\[\frac{\cos t}{1+\sin t}\]
\[=\frac{c^2-s^2}{s^2+c^2+2sc}\]
\[=\frac{(c-s)(c+s)}{(c+s)^2}\]
\[=\frac{c-s}{c+s}.\]
Следовательно, обе части равны.в) На общей области определения sin t≠0 и cos t≠0. Так как \(\operatorname{tg} t=\dfrac{2sc}{c^2-s^2}\), то\[\frac{\sin t+\operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t}\]
\[=\frac{2sc+\frac{2sc}{c^2-s^2}}{\frac{2sc}{c^2-s^2}}\]
\[=c^2-s^2+1\]
\[=2c^2\]
\[=1+\cos t.\]
г) На общей области определения sin t≠0. Тогда \(s\ne 0\) и \(c\ne 0\), поэтому\[\frac{\sin t}{1-\cos t}\]
\[=\frac{2sc}{1-(c^2-s^2)}\]
\[=\frac{2sc}{2s^2}\]
\[=\frac{c}{s}.\]
Одновременно\[\frac{1+\cos t}{\sin t}\]
\[=\frac{1+c^2-s^2}{2sc}\]
\[=\frac{2c^2}{2sc}\]
\[=\frac{c}{s}.\]
Таким образом, все четыре тождества доказаны на общих областях определения их частей.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Докажите тождество:
a) 1 + sin t = (cos t + ctg t) / ctg t;
6) (1 - sin t) / cos t = cos t / (1 + sin t)
