Упр.60.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Решить неравенства с параметрамиС пояснением
а) Перенесём коэффициенты и разложим на множители:
\(b(b − 1)x ≥ (b − 1)(b + 2)\).
При \(b = 0\) или \(b = 1\) неравенство выполняется при любом \(x\).
При \(b < 0\) или \(b > 1\) коэффициент b(b − 1) положителен, поэтому \(x \ge \frac{b + 2}{b}\).
При \(0 < b < 1\) коэффициент отрицателен, поэтому знак неравенства меняется: \(x \le \frac{b + 2}{b}\).б) При \(a = 0\) выражение \(x/a\) не определено. При \(a \ne 0\) получаем:
\((a + 1)x/a ≤ a + 1\).
При a = −1 неравенство выполняется при любом x.
При \(a < −1\) или \(a > 0\) коэффициент (a + 1)/a положителен, поэтому \(x \le a\).
При \(−1 < a < 0\) коэффициент отрицателен, поэтому \(x \ge a\).Ответ: а) при \(b < 0\) или \(b > 1\): \(x ≥ (b + 2)/b\); при \(0 < b < 1\): \(x ≤ (b + 2)/b\); при \(b = 0\) или \(b = 1\): x — любое число. б) при \(a < −1\) или \(a > 0\): \(x ≤ a\); при \(−1 < a < 0\): \(x ≥ a\); при a = −1: x — любое число; при \(a = 0\) неравенство не определено.
Кратко а) \(b(b − 1)x ≥ (b − 1)(b + 2)\).
б) При \(a \ne 0\): \(\frac{(a + 1)x}{a} \le a + 1\).Ответ: а) \(b < 0\) или \(b > 1\): \(x \ge \frac{b + 2}{b}\); \(0 < b < 1\): \(x \le \frac{b + 2}{b}\); \(b = 0\) или \(b = 1\): \(x\) — любое число. б) \(a < -1\) или \(a > 0\): \(x \le a\); \(-1 < a < 0\): \(x \ge a\); \(a = -1\): \(x\) — любое число; при \(a = 0\) неравенство не определено.
\(b(b − 1)x ≥ (b − 1)(b + 2)\).
При \(b = 0\) или \(b = 1\) неравенство выполняется при любом \(x\).
При \(b < 0\) или \(b > 1\) коэффициент b(b − 1) положителен, поэтому \(x \ge \frac{b + 2}{b}\).
При \(0 < b < 1\) коэффициент отрицателен, поэтому знак неравенства меняется: \(x \le \frac{b + 2}{b}\).б) При \(a = 0\) выражение \(x/a\) не определено. При \(a \ne 0\) получаем:
\((a + 1)x/a ≤ a + 1\).
При a = −1 неравенство выполняется при любом x.
При \(a < −1\) или \(a > 0\) коэффициент (a + 1)/a положителен, поэтому \(x \le a\).
При \(−1 < a < 0\) коэффициент отрицателен, поэтому \(x \ge a\).Ответ: а) при \(b < 0\) или \(b > 1\): \(x ≥ (b + 2)/b\); при \(0 < b < 1\): \(x ≤ (b + 2)/b\); при \(b = 0\) или \(b = 1\): x — любое число. б) при \(a < −1\) или \(a > 0\): \(x ≤ a\); при \(−1 < a < 0\): \(x ≥ a\); при a = −1: x — любое число; при \(a = 0\) неравенство не определено.
Кратко а) \(b(b − 1)x ≥ (b − 1)(b + 2)\).
б) При \(a \ne 0\): \(\frac{(a + 1)x}{a} \le a + 1\).Ответ: а) \(b < 0\) или \(b > 1\): \(x \ge \frac{b + 2}{b}\); \(0 < b < 1\): \(x \le \frac{b + 2}{b}\); \(b = 0\) или \(b = 1\): \(x\) — любое число. б) \(a < -1\) или \(a > 0\): \(x \le a\); \(-1 < a < 0\): \(x \ge a\); \(a = -1\): \(x\) — любое число; при \(a = 0\) неравенство не определено.
а) Рассмотрим графики функций
\(у = b(b - 1)x\) и \(у = (b - 1)(b + 2)\).При \(b = 0\) первый график имеет вид \(у = 0\), второй — \(у = -2\), поэтому неравенство верно при любом x.
При \(b = 1\) оба графика совпадают с осью \(Ox\), поэтому подходит любое x.Пусть b ≠ 0 и b ≠ 1. Графики пересекаются при
Если \(0 < b < 1\), то \(b(b − 1) < 0\), линейная функция убывает и находится не ниже постоянной при \(x ≤ x_0\).Следовательно:
при \(b < 0\) или \(b > 1\): \(x \geq \frac{b + 2}{b}\);
при \(0 < b < 1\): \(x \leq \frac{b + 2}{b}\);
при \(b = 0\) или \(b = 1\): \(x\) — любое действительное число.б) При \(a = 0\) выражение \(x/a\) не определено, поэтому этот случай не рассматривается.При \(a ≠ 0\) сравним графики
\(у = \dfrac{a + 1}{a}x\) и \(у = a + 1\).Если a = −1, оба графика совпадают с осью Ox, поэтому подходит любое x.Пусть a ≠ −1. Точка пересечения определяется равенством
При \(−1 < a < 0\) коэффициент \(\frac{a + 1}{a}\) отрицателен. Линейная функция убывает и находится не выше постоянной при \(x ≥ a\).Следовательно:
при \(a < -1\) или \(a > 0\): \(x \leq a\);
при \(-1 < a < 0\): \(x \geq a\);
при \(a = -1\): \(x\) — любое действительное число;
при \(a = 0\) исходное выражение не определено.
\(у = b(b - 1)x\) и \(у = (b - 1)(b + 2)\).При \(b = 0\) первый график имеет вид \(у = 0\), второй — \(у = -2\), поэтому неравенство верно при любом x.
При \(b = 1\) оба графика совпадают с осью \(Ox\), поэтому подходит любое x.Пусть b ≠ 0 и b ≠ 1. Графики пересекаются при
\[b(b - 1)x = (b - 1)(b + 2),\]
откуда \(x_0 = \dfrac{b + 2}{b}\).Если b < 0 или b > 1, то \(b(b − 1) > 0\), линейная функция возрастает и находится не ниже постоянной при \(x ≥ x_0\).Если \(0 < b < 1\), то \(b(b − 1) < 0\), линейная функция убывает и находится не ниже постоянной при \(x ≤ x_0\).Следовательно:
при \(b < 0\) или \(b > 1\): \(x \geq \frac{b + 2}{b}\);
при \(0 < b < 1\): \(x \leq \frac{b + 2}{b}\);
при \(b = 0\) или \(b = 1\): \(x\) — любое действительное число.б) При \(a = 0\) выражение \(x/a\) не определено, поэтому этот случай не рассматривается.При \(a ≠ 0\) сравним графики
\(у = \dfrac{a + 1}{a}x\) и \(у = a + 1\).Если a = −1, оба графика совпадают с осью Ox, поэтому подходит любое x.Пусть a ≠ −1. Точка пересечения определяется равенством
\[\frac{a + 1}{a}x = a + 1,\]
откуда \(x_0 = a\).При \(a < −1\) или \(a > 0\) коэффициент \(\frac{a + 1}{a}\) положителен. Линейная функция возрастает и находится не выше постоянной при \(x ≤ a\).При \(−1 < a < 0\) коэффициент \(\frac{a + 1}{a}\) отрицателен. Линейная функция убывает и находится не выше постоянной при \(x ≥ a\).Следовательно:
при \(a < -1\) или \(a > 0\): \(x \leq a\);
при \(-1 < a < 0\): \(x \geq a\);
при \(a = -1\): \(x\) — любое действительное число;
при \(a = 0\) исходное выражение не определено.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Решите неравенство (относительно х):
a) b^2x - bх > = b^2 + b - 2;
б) x/a + х < = а + 1.
