Упр.60.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Решите неравенства с параметрамиС пояснением
а) \((m − 1)x ≥ (m − 1)(m + 1)\).
При m > 1 делим на положительное число: \(x \ge m + 1\).
При m < 1 делим на отрицательное число, меняя знак неравенства: \(x \le m + 1\).
При m = 1 получаем 0 ≥ 0, поэтому подходит любое x.б) \((b^2 − 1)x > b − 1\).
При \(b > 1\) или \(b < −1\) коэффициент \(b^2 − 1\) положителен, поэтому \(x > \frac{1}{b + 1}\).
При −1 < b < 1 коэффициент отрицателен, поэтому \(x < \frac{1}{b + 1}\).
При b = 1 получаем 1 > 1 — решений нет.
При b = −1 получаем 1 > −1 — подходит любое x.Ответ: а) при m > 1: x ≥ m + 1; при m < 1: x ≤ m + 1; при m = 1: x ∈ ℝ. б) при b > 1 или b < −1: x > \(1/(b + 1)\); при −1 < b < 1: x < \(1/(b + 1)\); при b = 1 решений нет; при b = −1: x ∈ ℝ.
Кратко а) \((m − 1)x ≥ (m − 1)(m + 1)\).
Ответ: при m > 1: x ≥ m + 1; при m < 1: x ≤ m + 1; при m = 1: x ∈ ℝ.б) \((b^2 − 1)x > b − 1\).
Ответ: при b > 1 или b < −1: x > \(1/(b + 1)\); при −1 < b < 1: x < \(1/(b + 1)\); при b = 1 решений нет; при b = −1: x ∈ ℝ.
При m > 1 делим на положительное число: \(x \ge m + 1\).
При m < 1 делим на отрицательное число, меняя знак неравенства: \(x \le m + 1\).
При m = 1 получаем 0 ≥ 0, поэтому подходит любое x.б) \((b^2 − 1)x > b − 1\).
При \(b > 1\) или \(b < −1\) коэффициент \(b^2 − 1\) положителен, поэтому \(x > \frac{1}{b + 1}\).
При −1 < b < 1 коэффициент отрицателен, поэтому \(x < \frac{1}{b + 1}\).
При b = 1 получаем 1 > 1 — решений нет.
При b = −1 получаем 1 > −1 — подходит любое x.Ответ: а) при m > 1: x ≥ m + 1; при m < 1: x ≤ m + 1; при m = 1: x ∈ ℝ. б) при b > 1 или b < −1: x > \(1/(b + 1)\); при −1 < b < 1: x < \(1/(b + 1)\); при b = 1 решений нет; при b = −1: x ∈ ℝ.
Кратко а) \((m − 1)x ≥ (m − 1)(m + 1)\).
Ответ: при m > 1: x ≥ m + 1; при m < 1: x ≤ m + 1; при m = 1: x ∈ ℝ.б) \((b^2 − 1)x > b − 1\).
Ответ: при b > 1 или b < −1: x > \(1/(b + 1)\); при −1 < b < 1: x < \(1/(b + 1)\); при b = 1 решений нет; при b = −1: x ∈ ℝ.
а) Рассмотрим функцию
Если \(m>1\), прямая возрастает, поэтому \(f(x)\ge 0\) при \(x\ge m+1\).
Если \(m<1\), прямая убывает, поэтому \(f(x)\ge 0\) при \(x\le m+1\).
При \(m=1\) функция тождественно равна нулю, поэтому подходит любое x.б) Рассмотрим функцию
Если \(-1<b<1\), прямая убывает, поэтому g(x)>0 при \(x<1/(b+1)\).
При \(b=1\) функция тождественно равна нулю, поэтому решений нет.
При \(b=-1\) функция тождественно равна 2, поэтому подходит любое x.Ответ: а) при m>1: \(x\ge m+1\); при m<1: \(x\le m+1\); при \(m=1\): x∈ℝ. б) при \(b>1\) или \(b<-1\): \(x>1/(b+1)\); при \(-1<b<1\): \(x<1/(b+1)\); при \(b=1\) решений нет; при \(b=-1\): x∈ℝ.
\[f(x)=mx-x+1-m^2=(m-1)(x-m-1).\]
При \(m\ne 1\) её график — прямая, пересекающая ось \(Ox\) в точке \(x=m+1\).Если \(m>1\), прямая возрастает, поэтому \(f(x)\ge 0\) при \(x\ge m+1\).
Если \(m<1\), прямая убывает, поэтому \(f(x)\ge 0\) при \(x\le m+1\).
При \(m=1\) функция тождественно равна нулю, поэтому подходит любое x.б) Рассмотрим функцию
\[g(x)=b^2x-x+1-b=(b^2-1)x+1-b.\]
При \(b\ne\pm 1\) её график пересекает ось \(Ox\) в точке\[x=\frac{b-1}{b^2-1}=\frac{1}{b+1}.\]
Если \(b>1\) или \(b<-1\), коэффициент \(b^2-1\) положителен, поэтому прямая возрастает и \(g(x)>0\) при \(x>1/(b+1)\).Если \(-1<b<1\), прямая убывает, поэтому g(x)>0 при \(x<1/(b+1)\).
При \(b=1\) функция тождественно равна нулю, поэтому решений нет.
При \(b=-1\) функция тождественно равна 2, поэтому подходит любое x.Ответ: а) при m>1: \(x\ge m+1\); при m<1: \(x\le m+1\); при \(m=1\): x∈ℝ. б) при \(b>1\) или \(b<-1\): \(x>1/(b+1)\); при \(-1<b<1\): \(x<1/(b+1)\); при \(b=1\) решений нет; при \(b=-1\): x∈ℝ.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Решите неравенство (относительно х):
а) mх - х + 1 > = m^2;
б) b^2 x - х + 1 > b.
