Упр.53.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Докажите неравенство для натурального n > 1С пояснением
Докажем неравенство методом математической индукции.
1) При \(n = 2\) имеем \((1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 > 1 + 2x\), так как \(x > 0\).
2) Пусть для некоторого k ≥ 2 верно (1 + x)ᵏ > 1 + kx. Умножим обе части на положительное число 1 + x:
\((1 + x)^{k+1} > (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx^2 > 1 + (k + 1)x\).
Следовательно, неравенство верно и для k + 1.
Ответ: неравенство доказано для всех натуральных n > 1 и всех x > 0.
Кратко При \(n = 2\): \((1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 > 1 + 2x\).
Пусть \((1 + x)^k > 1 + kx\) для \(k \ge 2\). Тогда
\((1 + x)^{k+1} > (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx^2 > 1 + (k + 1)x\).
Ответ: по индукции неравенство доказано для всех n > 1 и x > 0.
1) При \(n = 2\) имеем \((1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 > 1 + 2x\), так как \(x > 0\).
2) Пусть для некоторого k ≥ 2 верно (1 + x)ᵏ > 1 + kx. Умножим обе части на положительное число 1 + x:
\((1 + x)^{k+1} > (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx^2 > 1 + (k + 1)x\).
Следовательно, неравенство верно и для k + 1.
Ответ: неравенство доказано для всех натуральных n > 1 и всех x > 0.
Кратко При \(n = 2\): \((1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 > 1 + 2x\).
Пусть \((1 + x)^k > 1 + kx\) для \(k \ge 2\). Тогда
\((1 + x)^{k+1} > (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx^2 > 1 + (k + 1)x\).
Ответ: по индукции неравенство доказано для всех n > 1 и x > 0.
По формуле бинома Ньютона
\[(1+x)^n=1+nx+\binom{n}{2}x^2+\binom{n}{3}x^3+\ldots+x^n.\]
Так как n>1 и x>0, все слагаемые после 1+nx неотрицательны, а слагаемое\[\binom{n}{2}x^2=\frac{n(n-1)}{2}x^2\]
строго положительно. Поэтому\((1+x)^n>1+nx\).Неравенство доказано для всех натуральных n>1 и всех x>0.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Докажите, что для любого натурального числа n > 1
и любого положительного числа х справедливо неравенство (1 + x)^n > 1 + nх.
