Упр.49.34 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найдите площади фигур между графиками и касательнымиС пояснением
а) 1) Найдём касательную. Для \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) имеем \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\). Так как \(f(3) = 1\) и \(f'(3) = 0\), уравнение касательной: y = 1.
2) Найдём точки пересечения: \(x^3 - 6x^2 + 9x = x(x - 3)^2 = 0\). Их абсциссы: x = 0 и x = 3. На отрезке [0; 3] график функции расположен не ниже касательной.
3) \(S = \int_0^3 x(x - 3)^2\,dx = \left[\dfrac{x^4}{4} - 2x^3 + \dfrac{9x^2}{2}\right]_0^3 = \dfrac{27}{4}\).б) 1) Для \(f(x) = x^3 - 3x\) имеем \(f'(x) = 3x^2 - 3\). Так как \(f(-1) = 2\) и \(f'(-1) = 0\), уравнение касательной: y = 2.
2) Найдём точки пересечения: \(x^3 - 3x - 2 = (x + 1)^2(x - 2) = 0\). Их абсциссы: x = −1 и x = 2. На отрезке [−1; 2] график функции расположен не выше касательной.
3) S = ∫₋₁² (2 − x³ + 3x) dx = [2x − x⁴/4 + 3x²/2]₋₁² = 27/4.Ответ: а) 27/4; б) 27/4.
Кратко а) \(f′(x) = 3x^2 - 12x + 9\), \(f′(3) = 0\), \(f(3) = 1\). Касательная: \(y = 1\).
\(x(x - 3)^2 = 0\); \(x = 0\), \(x = 3\).
\(\displaystyle S = \int_0^3 x(x - 3)^2\,dx = \dfrac{27}{4}\).б) \(f'(x) = 3x^2 - 3\), \(f'(-1) = 0\), \(f(-1) = 2\). Касательная: y = 2.
\((x + 1)^2(x - 2) = 0\); \(x = -1\), \(x = 2\).
S = ∫₋₁² (2 − x³ + 3x) dx = 27/4.Ответ: а) 27/4; б) 27/4.
2) Найдём точки пересечения: \(x^3 - 6x^2 + 9x = x(x - 3)^2 = 0\). Их абсциссы: x = 0 и x = 3. На отрезке [0; 3] график функции расположен не ниже касательной.
3) \(S = \int_0^3 x(x - 3)^2\,dx = \left[\dfrac{x^4}{4} - 2x^3 + \dfrac{9x^2}{2}\right]_0^3 = \dfrac{27}{4}\).б) 1) Для \(f(x) = x^3 - 3x\) имеем \(f'(x) = 3x^2 - 3\). Так как \(f(-1) = 2\) и \(f'(-1) = 0\), уравнение касательной: y = 2.
2) Найдём точки пересечения: \(x^3 - 3x - 2 = (x + 1)^2(x - 2) = 0\). Их абсциссы: x = −1 и x = 2. На отрезке [−1; 2] график функции расположен не выше касательной.
3) S = ∫₋₁² (2 − x³ + 3x) dx = [2x − x⁴/4 + 3x²/2]₋₁² = 27/4.Ответ: а) 27/4; б) 27/4.
Кратко а) \(f′(x) = 3x^2 - 12x + 9\), \(f′(3) = 0\), \(f(3) = 1\). Касательная: \(y = 1\).
\(x(x - 3)^2 = 0\); \(x = 0\), \(x = 3\).
\(\displaystyle S = \int_0^3 x(x - 3)^2\,dx = \dfrac{27}{4}\).б) \(f'(x) = 3x^2 - 3\), \(f'(-1) = 0\), \(f(-1) = 2\). Касательная: y = 2.
\((x + 1)^2(x - 2) = 0\); \(x = -1\), \(x = 2\).
S = ∫₋₁² (2 − x³ + 3x) dx = 27/4.Ответ: а) 27/4; б) 27/4.
а) Пусть \(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\). Тогда \(f(3)=1\), \(f'(x)=3x^2-12x+9\) и \(f'(3)=0\), поэтому касательная имеет уравнение \(y=1\).Точки пересечения касательной с графиком определяются равенством
\[x^3-6x^2+9x+1=1,\]
\[x(x-3)^2=0.\]
Следовательно, \(x=0\) и \(x=3\). На отрезке [0;3] график расположен выше касательной, поэтому\[S=\int_0^3 x(x-3)^2\,dx\]
\[=\left[\frac{x^4}{4}-2x^3+\frac{9x^2}{2}\right]_0^3=\frac{27}{4}.\]
б) Рассмотрим поворот плоскости на 180° вокруг точки \((1;\frac{3}{2})\):\[X=2-x,\quad Y=3-y.\]
Он сохраняет площади. Прямая \(y=1\) при этом переходит в прямую \(Y=2\). Кроме того,\[3-f(2-X)=3-((2-X)^3-6(2-X)^2+9(2-X)+1)=X^3-3X.\]
Значит, график из пункта а) переходит в график \(Y=X^3-3X\). Точка (3;1) переходит в точку (−1;2), поэтому соответствующая касательная \(Y=2\) является касательной в точке \(X=-1\). Следовательно, фигуры из пунктов а) и б) равны по площади.Ответ: а) \(\frac{27}{4}\); б) \(\frac{27}{4}\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
у = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 и касательной к нему в точке x = 3.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
у = x^3 - 3x и касательной к нему в точке x = -1.
