Упр.49.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найдите площади фигур между графикамиС пояснением
Площадь находим как интеграл разности верхней и нижней функций.а) Графики пересекаются при x = 0 и x = \(\frac{\pi}{4}\). На этом промежутке \(\sin 2x \geq \dfrac{16x^2}{\pi^2}\), поэтому
S = ∫₋₁¹ (cos(\(\frac{\pi x}{2}\)) − \(x^2\) + 1) dx = [(2/\(\pi\))sin(\(\frac{\pi x}{2}\)) − \(x^3/3\) + x]₋₁¹ = 4/\(\pi\) + 4/3.в) Графики пересекаются при x = 0 и x = \(\frac{\pi}{2}\). Между ними верхний график — \(y = \cos x\):
Кратко а) \(S = \int_0^{\pi/4} \left(\sin 2x - \dfrac{16x^2}{\pi^2}\right) dx = \dfrac{1}{2} - \dfrac{\pi}{12}\).
б) S = ∫₋₁¹ (cos(\(\frac{\pi x}{2}\)) − \(x^2\) + 1) dx = 4/\(\pi\) + 4/3.
в) \(S = \int_0^{\pi/2} (\cos x - (2x/\pi - 1)^2)\,dx = 1 - \dfrac{\pi}{6}\).
г) S = ∫₀² (sin(\(\frac{\pi x}{2}\)) − \(x^2\) + 2x) dx = 4/\(\pi\) + 4/3.
Ответ: а) 1/2 − \(\frac{\pi}{12}\); б) 4/\(\pi\) + 4/3; в) 1 − \(\frac{\pi}{6}\); г) 4/\(\pi\) + 4/3.
\[S = \int_0^{\pi/4} \left(\sin 2x - \frac{16x^2}{\pi^2}\right) dx\]
\[= \left[-\frac{\cos 2x}{2} - \frac{16x^3}{3\pi^2}\right]_0^{\pi/4}\]
\[= \frac{1}{2} - \frac{\pi}{12}.\]
б) Графики пересекаются при x = −1 и x = 1. Между ними верхний график — \(y = \cos(\pi x/2)\):S = ∫₋₁¹ (cos(\(\frac{\pi x}{2}\)) − \(x^2\) + 1) dx = [(2/\(\pi\))sin(\(\frac{\pi x}{2}\)) − \(x^3/3\) + x]₋₁¹ = 4/\(\pi\) + 4/3.в) Графики пересекаются при x = 0 и x = \(\frac{\pi}{2}\). Между ними верхний график — \(y = \cos x\):
\[S = \int_0^{\pi/2} \left(\cos x - \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right)^2\right) dx\]
\[= \left[\sin x - \frac{\pi}{6}\left(\frac{2x}{\pi} - 1\right)^3\right]_0^{\pi/2}\]
\[= 1 - \frac{\pi}{6}.\]
г) Графики пересекаются при x = 0 и x = 2. Между ними верхний график — \(y = \sin(\pi x/2)\):\[S = \int_0^2 \left(\sin\frac{\pi x}{2} - x^2 + 2x\right) dx\]
\[= \left[-\frac{2}{\pi}\cos\frac{\pi x}{2} - \frac{x^3}{3} + x^2\right]_0^2\]
\[= \frac{4}{\pi} + \frac{4}{3}.\]
Ответ: а) 1/2 − \(\frac{\pi}{12}\); б) 4/\(\pi\) + 4/3; в) 1 − \(\frac{\pi}{6}\); г) 4/\(\pi\) + 4/3.Кратко а) \(S = \int_0^{\pi/4} \left(\sin 2x - \dfrac{16x^2}{\pi^2}\right) dx = \dfrac{1}{2} - \dfrac{\pi}{12}\).
б) S = ∫₋₁¹ (cos(\(\frac{\pi x}{2}\)) − \(x^2\) + 1) dx = 4/\(\pi\) + 4/3.
в) \(S = \int_0^{\pi/2} (\cos x - (2x/\pi - 1)^2)\,dx = 1 - \dfrac{\pi}{6}\).
г) S = ∫₀² (sin(\(\frac{\pi x}{2}\)) − \(x^2\) + 2x) dx = 4/\(\pi\) + 4/3.
Ответ: а) 1/2 − \(\frac{\pi}{12}\); б) 4/\(\pi\) + 4/3; в) 1 − \(\frac{\pi}{6}\); г) 4/\(\pi\) + 4/3.
а) Точки пересечения имеют абсциссы 0 и \(\frac{\pi}{4}\). Поэтому
\(\displaystyle \cos x = \cos(\dfrac{\pi}{2} - 2t) = \sin 2t\),
\(\displaystyle \left(\dfrac{2x}{\pi} - 1\right)^2 = \dfrac{16t^2}{\pi^2}\).
Таким образом, эта фигура получается из фигуры пункта а) отражением и растяжением по горизонтали в 2 раза. Следовательно,
\(\displaystyle S_{в} = 2Sₐ = 1 - \dfrac{\pi}{6}\).г) Перенесём начало координат по горизонтали, положив \(t = x - 1\). Тогда
\(x^2 - 2x = t^2 - 1\),
\(\displaystyle \sin\left(\dfrac{\pi x}{2}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi(t + 1)}{2}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi t}{2}\right)\).
При \(x \in [0; 2]\) имеем \(t \in [-1; 1]\). Получилась фигура пункта б), сдвинутая на 1 вправо, поэтому её площадь не изменилась:
\(\displaystyle S_{г} = S_{б} = \dfrac{4}{\pi} + \dfrac{4}{3}\).Ответ: а) \(\frac{1}{2}\) − \(\frac{\pi}{12}\); б) 4/\(\pi\) + \(\frac{4}{3}\); в) 1 − \(\frac{\pi}{6}\); г) 4/\(\pi\) + \(\frac{4}{3}\).
\[Sₐ = \int_0^{\pi/4} \sin 2x\,dx - \int_0^{\pi/4} \frac{16x^2}{\pi^2}\,dx\]
\[= \frac{1}{2} - \frac{\pi}{12}.\]
б) Фигура симметрична относительно оси Oy, поэтому\[S_{б} = 2\int_0^1 \left(\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) - x^2 + 1\right)\,dx\]
\[= 2\left[\frac{2}{\pi}\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) - \frac{x^3}{3} + x\right]_0^1\]
\[= \frac{4}{\pi} + \frac{4}{3}.\]
в) Выполним замену координаты \(x = \dfrac{\pi}{2} - 2t\). Тогда при изменении x от 0 до \(\frac{\pi}{2}\) величина t изменяется от \(\frac{\pi}{4}\) до 0, причём\(\displaystyle \cos x = \cos(\dfrac{\pi}{2} - 2t) = \sin 2t\),
\(\displaystyle \left(\dfrac{2x}{\pi} - 1\right)^2 = \dfrac{16t^2}{\pi^2}\).
Таким образом, эта фигура получается из фигуры пункта а) отражением и растяжением по горизонтали в 2 раза. Следовательно,
\(\displaystyle S_{в} = 2Sₐ = 1 - \dfrac{\pi}{6}\).г) Перенесём начало координат по горизонтали, положив \(t = x - 1\). Тогда
\(x^2 - 2x = t^2 - 1\),
\(\displaystyle \sin\left(\dfrac{\pi x}{2}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi(t + 1)}{2}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi t}{2}\right)\).
При \(x \in [0; 2]\) имеем \(t \in [-1; 1]\). Получилась фигура пункта б), сдвинутая на 1 вправо, поэтому её площадь не изменилась:
\(\displaystyle S_{г} = S_{б} = \dfrac{4}{\pi} + \dfrac{4}{3}\).Ответ: а) \(\frac{1}{2}\) − \(\frac{\pi}{12}\); б) 4/\(\pi\) + \(\frac{4}{3}\); в) 1 − \(\frac{\pi}{6}\); г) 4/\(\pi\) + \(\frac{4}{3}\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = sin 2х, у = 16x^2 / пи^2;
б) у = х^2 - 1, у = cos пиx/2;
в) у = cos x, у = (2x/пи - 1)^2;
г) у = х^2 - 2x, у = sin пиx/2.
