Упр.49.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Найдите площади фигур в пунктах а) и б)С пояснением
1) Производная функции \(y = x^3\) равна \(y′ = 3x^2\). Поэтому касательные в точках \(x = 0\) и \(x = 1\) имеют уравнения \(y = 0\) и \(y = 3x - 2\).2) Найдём общие точки графика и второй касательной:
\(x^3 = 3x - 2\);
\((x - 1)^2(x + 2) = 0\), откуда \(x = -2\) или \(x = 1\).
Таким образом, в каждом пункте получаются две ограниченные фигуры.а) Ось \(Oy\) задаётся уравнением \(x = 0\). На промежутках \([-2; 0]\) и \([0; 1]\) график \(y = x^3\) расположен выше касательной. Поэтому
S₁ = ∫ от −2 до 0 (x³ − 3x + 2) dx = 6;
S₂ = ∫ от 0 до 1 (x³ − 3x + 2) dx = 3/4.б) Касательные пересекаются при \(3x - 2 = 0\), то есть при \(x = \frac{2}{3}\).
Для фигуры слева от точки x = 0:
S₁ = ∫ от −2 до 0 (x³ − 3x + 2) dx + ∫ от 0 до 2/3 (2 − 3x) dx = 6 + 2/3 = 20/3.
Для фигуры справа от точки x = 0:
S₂ = ∫ от 0 до 2/3 x³ dx + ∫ от 2/3 до 1 (x³ − 3x + 2) dx = 1/12.Ответ: а) 6 и 3/4; б) 20/3 и 1/12.
Кратко Касательные: y = 0 и y = 3x − 2. Уравнение x³ = 3x − 2 даёт x = −2 и x = 1; касательные пересекаются при \(x = \frac{2}{3}\).а) S₁ = ∫ от −2 до 0 (x³ − 3x + 2) dx = 6;
S₂ = ∫ от 0 до 1 (x³ − 3x + 2) dx = 3/4.б) S₁ = ∫ от −2 до 0 (x³ − 3x + 2) dx + ∫ от 0 до 2/3 (2 − 3x) dx = 20/3;
S₂ = ∫ от 0 до 2/3 x³ dx + ∫ от 2/3 до 1 (x³ − 3x + 2) dx = 1/12.Ответ: а) 6 и 3/4; б) 20/3 и 1/12.
\(x^3 = 3x - 2\);
\((x - 1)^2(x + 2) = 0\), откуда \(x = -2\) или \(x = 1\).
Таким образом, в каждом пункте получаются две ограниченные фигуры.а) Ось \(Oy\) задаётся уравнением \(x = 0\). На промежутках \([-2; 0]\) и \([0; 1]\) график \(y = x^3\) расположен выше касательной. Поэтому
S₁ = ∫ от −2 до 0 (x³ − 3x + 2) dx = 6;
S₂ = ∫ от 0 до 1 (x³ − 3x + 2) dx = 3/4.б) Касательные пересекаются при \(3x - 2 = 0\), то есть при \(x = \frac{2}{3}\).
Для фигуры слева от точки x = 0:
S₁ = ∫ от −2 до 0 (x³ − 3x + 2) dx + ∫ от 0 до 2/3 (2 − 3x) dx = 6 + 2/3 = 20/3.
Для фигуры справа от точки x = 0:
S₂ = ∫ от 0 до 2/3 x³ dx + ∫ от 2/3 до 1 (x³ − 3x + 2) dx = 1/12.Ответ: а) 6 и 3/4; б) 20/3 и 1/12.
Кратко Касательные: y = 0 и y = 3x − 2. Уравнение x³ = 3x − 2 даёт x = −2 и x = 1; касательные пересекаются при \(x = \frac{2}{3}\).а) S₁ = ∫ от −2 до 0 (x³ − 3x + 2) dx = 6;
S₂ = ∫ от 0 до 1 (x³ − 3x + 2) dx = 3/4.б) S₁ = ∫ от −2 до 0 (x³ − 3x + 2) dx + ∫ от 0 до 2/3 (2 − 3x) dx = 20/3;
S₂ = ∫ от 0 до 2/3 x³ dx + ∫ от 2/3 до 1 (x³ − 3x + 2) dx = 1/12.Ответ: а) 6 и 3/4; б) 20/3 и 1/12.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
у = x^3, касательной к нему в точке x = 1 и осью у.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
у = x^3 и касательными к нему в точках x = 0 и x = 1.
