Упр.48.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Сравните значения первообразной \(F(a)\) и \(F(b)\)С пояснением
Так как F — первообразная для f, то \(F′(x) = f(x)\).а) На отрезке [3,3; 4,1] множитель \(2x - 10\) отрицателен, а \(\sqrt{x - 3}\) положителен. Поэтому \(F′(x) < 0\), и функция F убывает. Так как 3,3 < 4,1, получаем \(F(3,3) > F(4,1)\).б) На отрезке [15; 17] оба множителя \(3x + 60\) и \(\sqrt[3]{2x − 4}\) положительны. Поэтому \(F′(x) > 0\), и функция \(F\) возрастает. Так как \(15 < 17\), получаем \(F(15) < F(17)\).Ответ: а) \(F(a) > F(b)\); б) \(F(a) < F(b)\).
Кратко а) На [3,3; 4,1] \(F′(x) = f(x)\) < 0, поэтому F убывает и \(F(3,3) > F(4,1)\).
б) На [15; 17] \(F′(x) = f(x)\) > 0, поэтому F возрастает и \(F(15) < F(17)\).Ответ: а) \(F(a) > F(b)\); б) \(F(a) < F(b)\).
Кратко а) На [3,3; 4,1] \(F′(x) = f(x)\) < 0, поэтому F убывает и \(F(3,3) > F(4,1)\).
б) На [15; 17] \(F′(x) = f(x)\) > 0, поэтому F возрастает и \(F(15) < F(17)\).Ответ: а) \(F(a) > F(b)\); б) \(F(a) < F(b)\).
а) Положим \(t=x-3\). Тогда \(2x-10=2t-4\), поэтому
\(f(x)=2t^{3/2}-4t^{1/2}\).
Следовательно,
\(F(3{,}3)\approx-0{,}399+C\),
а при \(x=4{,}1\):
\(F(4{,}1)\approx-2{,}062+C\).
Значит, F(3,3)>F(4,1).б) Положим \(u=2x-4\). Тогда \(x=\dfrac{u+4}{2}\) и \(3x+60=\dfrac{3u}{2}+66\). Первообразная имеет вид
\(f(x)=2t^{3/2}-4t^{1/2}\).
Следовательно,
\[F(x)=\frac{4}{5}\cdot(x-3)^{5/2}-\frac{8}{3}\cdot(x-3)^{3/2}+C.\]
При \(x=3{,}3\) получаем\(F(3{,}3)\approx-0{,}399+C\),
а при \(x=4{,}1\):
\(F(4{,}1)\approx-2{,}062+C\).
Значит, F(3,3)>F(4,1).б) Положим \(u=2x-4\). Тогда \(x=\dfrac{u+4}{2}\) и \(3x+60=\dfrac{3u}{2}+66\). Первообразная имеет вид
\[F(x)=\frac{9}{28}\cdot(2x-4)^{7/3}+\frac{99}{4}\cdot(2x-4)^{4/3}+C.\]
Для \(x=15\) имеем \(2x-4=26\), а для \(x=17\) имеем \(2x-4=30\). Обе степени и коэффициенты в полученной формуле положительны, поэтому при замене 26 на 30 значение выражения увеличивается. Следовательно, F(15)<F(17).Ответ: а) F(a)>F(b); б) F(a)<F(b).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Известно, что функция у = F(x) — первообразная для функции у = f(x).
Что больше — F(a) или F(b), если:
а) f(x) = (2х - 10) корень(х - 3), а = 3,3, b = 4,1;
б) f(x) = (Зх + 60) (3)корень(2х - 4), а = 15, b = 17?
