Упр.32.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти минимальное время путиС пояснением
1) Расстояние от основания перпендикуляра, опущенного из базы на дорогу, до станции равно \(\sqrt{13^2 − 5^2} = 12\) (км).
2) Пусть пешеход выйдет на дорогу на расстоянии x км от основания перпендикуляра в сторону станции. Достаточно рассмотреть \(0 ≤ x ≤ 12\): выход на дорогу вне этого отрезка увеличит обе части пути.
3) Время пути как функция от x:
4) \(T(15/4) = 25/12 + 33/20 = 56/15\ \text{(ч)} = 3\ \text{ч}\ 44\ \text{мин}\).
Ответ: 3 ч 44 мин.
Кратко Расстояние от основания перпендикуляра до станции: \(\sqrt{13^2 − 5^2} = 12\) (км).
Пусть x км — расстояние от основания перпендикуляра до места выхода на дорогу в сторону станции, \(0 ≤ x ≤ 12\). За пределами этого отрезка обе части пути длиннее.
\(T(15/4) = 56/15\ \text{(ч)} = 3\ \text{ч}\ 44\ \text{мин}\).
Ответ: 3 ч 44 мин.
2) Пусть пешеход выйдет на дорогу на расстоянии x км от основания перпендикуляра в сторону станции. Достаточно рассмотреть \(0 ≤ x ≤ 12\): выход на дорогу вне этого отрезка увеличит обе части пути.
3) Время пути как функция от x:
\[T(x)=\frac{\sqrt{25+x^2}}{3}+\frac{12-x}{5}.\]
\[T'(x)=\frac{x}{3\sqrt{25+x^2}}-\frac{1}{5}.\]
Из \(T'(x)=0\) получаем \(5x=3\sqrt{25+x^2}\), откуда \(x = 15/4\). Производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке время минимально.4) \(T(15/4) = 25/12 + 33/20 = 56/15\ \text{(ч)} = 3\ \text{ч}\ 44\ \text{мин}\).
Ответ: 3 ч 44 мин.
Кратко Расстояние от основания перпендикуляра до станции: \(\sqrt{13^2 − 5^2} = 12\) (км).
Пусть x км — расстояние от основания перпендикуляра до места выхода на дорогу в сторону станции, \(0 ≤ x ≤ 12\). За пределами этого отрезка обе части пути длиннее.
\[T(x)=\frac{\sqrt{25+x^2}}{3}+\frac{12-x}{5}.\]
\[T'(x)=\frac{x}{3\sqrt{25+x^2}}-\frac{1}{5}=0;\]
\[x=\frac{15}{4}.\] Производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.\(T(15/4) = 56/15\ \text{(ч)} = 3\ \text{ч}\ 44\ \text{мин}\).
Ответ: 3 ч 44 мин.
Расстояние от основания перпендикуляра, опущенного из базы на дорогу, до станции равно
\(\displaystyle \sqrt{13^2-5^2}=12\) км.Пусть пешеход выйдет на дорогу в точке, находящейся на расстоянии x км от основания перпендикуляра в сторону станции, где \(0\le x\le 12\). Тогда время движения
\(\displaystyle T\ge \dfrac{12}{5}+\dfrac{20}{15}=\dfrac{56}{15}\) ч.Равенство достигается при \(4x-15=0\), то есть при \(x=\dfrac{15}{4}\) км. Это значение принадлежит отрезку [0; 12], поэтому минимальное время действительно достигается.\(56/15\) ч = \(3\) ч \(44\) мин.Ответ: 3 ч 44 мин.
\(\displaystyle \sqrt{13^2-5^2}=12\) км.Пусть пешеход выйдет на дорогу в точке, находящейся на расстоянии x км от основания перпендикуляра в сторону станции, где \(0\le x\le 12\). Тогда время движения
\[T=\frac{\sqrt{25+x^2}}{3}+\frac{12-x}{5}\]
\[=\frac{12}{5}+\frac{5\sqrt{25+x^2}-3x}{15}.\]
Докажем, что\[5\sqrt{25+x^2}-3x\ge 20.\]
Так как обе части неравенства \(5\sqrt{25+x^2}\ge 3x+20\) неотрицательны, возведём их в квадрат:\[25(25+x^2)-(3x+20)^2=16x^2-120x+225=(4x-15)^2\ge 0.\]
Следовательно,\(\displaystyle T\ge \dfrac{12}{5}+\dfrac{20}{15}=\dfrac{56}{15}\) ч.Равенство достигается при \(4x-15=0\), то есть при \(x=\dfrac{15}{4}\) км. Это значение принадлежит отрезку [0; 12], поэтому минимальное время действительно достигается.\(56/15\) ч = \(3\) ч \(44\) мин.Ответ: 3 ч 44 мин.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
База находится в лесу в 5 км от дороги, а в 13 км от базы на этой дороге есть железнодорожная станция.
Пешеход по дороге идёт со скоростью 5 км/ч, а по лесу— 3 км/ч.
За какое минимальное время пешеход может добраться от базы до станции?
