Упр.19.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Докажите тригонометрические тождестваС пояснением
Используем формулы суммы:
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β;
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β.а) При α = 5x и β = 3x получаем:
sin 5x cos 3x + cos 5x sin 3x = sin(5x + 3x) = sin 8x.б) Аналогично:
cos 5x cos 3x − sin 5x sin 3x = cos(5x + 3x) = cos 8x.Ответ: тождества доказаны.
Кратко а) sin 5x cos 3x + cos 5x sin 3x = sin(5x + 3x) = sin 8x.
б) cos 5x cos 3x − sin 5x sin 3x = cos(5x + 3x) = cos 8x.Ответ: тождества доказаны.
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β;
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β.а) При α = 5x и β = 3x получаем:
sin 5x cos 3x + cos 5x sin 3x = sin(5x + 3x) = sin 8x.б) Аналогично:
cos 5x cos 3x − sin 5x sin 3x = cos(5x + 3x) = cos 8x.Ответ: тождества доказаны.
Кратко а) sin 5x cos 3x + cos 5x sin 3x = sin(5x + 3x) = sin 8x.
б) cos 5x cos 3x − sin 5x sin 3x = cos(5x + 3x) = cos 8x.Ответ: тождества доказаны.
Используем формулы произведения в сумму.а)
\(\sin5x\cos3x=\frac12[\sin(5x+3x)+\sin(5x-3x)]=\frac12(\sin8x+\sin2x),\)
\(\cos5x\sin3x=\frac12[\sin(3x+5x)+\sin(3x-5x)]=\frac12(\sin8x-\sin2x).\)
Поэтому\[\sin5x\cos3x+\cos5x\sin3x=\frac12(\sin8x+\sin2x)+\frac12(\sin8x-\sin2x)=\sin8x.\]
б)\(\cos5x\cos3x=\frac12[\cos(5x+3x)+\cos(5x-3x)]=\frac12(\cos8x+\cos2x),\)
\(\sin5x\sin3x=\frac12[\cos(5x-3x)-\cos(5x+3x)]=\frac12(\cos2x-\cos8x).\)
Следовательно,\[\cos5x\cos3x-\sin5x\sin3x=\frac12(\cos8x+\cos2x)-\frac12(\cos2x-\cos8x)=\cos8x.\]
Оба тождества доказаны.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
а) sin 5x * cos 3x + cos 5x * sin 3x = sin 8x;
б) cos 5x * соs 3x - sin 5x * sin 3x = cos 8x.
