Упр.19.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Докажите тригонометрические тождестваС пояснением
Используем формулы синуса и косинуса суммы, а также чётность косинуса и нечётность синуса.а) Преобразуем левую часть:
Кратко а) \(\sin(\alpha+\beta)+\sin(-\alpha)\cos(-\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta=\sin\beta\cos\alpha.\)б) \(\cos(\alpha+\beta)+\sin(-\alpha)\sin(-\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos\alpha\cos\beta.\)Ответ: оба тождества доказаны.
\(\sin(\alpha+\beta)+\sin(-\alpha)\cos(-\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta=\sin\beta\cos\alpha.\)
б) Преобразуем левую часть:\(\cos(\alpha+\beta)+\sin(-\alpha)\sin(-\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos\alpha\cos\beta.\)
Ответ: оба тождества доказаны.Кратко а) \(\sin(\alpha+\beta)+\sin(-\alpha)\cos(-\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta=\sin\beta\cos\alpha.\)б) \(\cos(\alpha+\beta)+\sin(-\alpha)\sin(-\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos\alpha\cos\beta.\)Ответ: оба тождества доказаны.
а) Учитывая нечётность синуса и чётность косинуса, получаем
\[
\sin(-\alpha)\cos(-\beta)=-\sin\alpha\cos\beta.
\]
По формуле преобразования произведения в сумму\[
\sin\alpha\cos\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}2.
\]
Поэтому левая часть равна\[
\sin(\alpha+\beta)-\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}2
=\frac{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}2.
\]
По формуле разности синусов\[
\frac{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}2
=\cos\alpha\sin\beta=\sin\beta\cos\alpha.
\]
Тождество доказано.б) Так как синус — нечётная функция,\[
\sin(-\alpha)\sin(-\beta)=\sin\alpha\sin\beta.
\]
По формуле преобразования произведения в сумму\[
\sin\alpha\sin\beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}2.
\]
Следовательно, левая часть равна\[
\cos(\alpha+\beta)+\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}2
=\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}2.
\]
По формуле суммы косинусов\[
\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}2
=\cos\alpha\cos\beta.
\]
Тождество доказано.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Докажите тождество:
a) sin (а + b) + sin (-а) cos(-b) = sin b cos а;
б) cos (а + b) + sin (-а) sin(-b) = cos а cos b.
