Упр.19.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Докажите тригонометрические тождестваС пояснением
а) Применим формулы синуса и косинуса разности:
Кратко а) \(\sin(30^\circ-\alpha)-\cos(60^\circ-\alpha)=\frac12\cos\alpha-\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha-\frac12\cos\alpha-\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha=-\sqrt3\sin\alpha.\)б) \(\sin(30^\circ-\alpha)+\sin(30^\circ+\alpha)=\frac12\cos\alpha-\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha+\frac12\cos\alpha+\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha=\cos\alpha.\)Ответ: тождества доказаны.
\(\sin(30^\circ-\alpha)-\cos(60^\circ-\alpha)=\sin30^\circ\cos\alpha-\cos30^\circ\sin\alpha-\cos60^\circ\cos\alpha-\sin60^\circ\sin\alpha=\)
\(\displaystyle =\frac12\cos\alpha-\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha-\frac12\cos\alpha-\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha=-\sqrt3\sin\alpha.\)
б) Применим формулы синуса суммы и разности:\(\sin(30^\circ-\alpha)+\sin(30^\circ+\alpha)=\sin30^\circ\cos\alpha-\cos30^\circ\sin\alpha+\sin30^\circ\cos\alpha+\cos30^\circ\sin\alpha=2\sin30^\circ\cos\alpha=\cos\alpha.\)
Ответ: тождества доказаны.Кратко а) \(\sin(30^\circ-\alpha)-\cos(60^\circ-\alpha)=\frac12\cos\alpha-\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha-\frac12\cos\alpha-\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha=-\sqrt3\sin\alpha.\)б) \(\sin(30^\circ-\alpha)+\sin(30^\circ+\alpha)=\frac12\cos\alpha-\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha+\frac12\cos\alpha+\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha=\cos\alpha.\)Ответ: тождества доказаны.
а) Используем равенство \(\cos(60^\circ-\alpha)=\sin(30^\circ+\alpha)\). Тогда
\[
\sin(30^\circ-\alpha)-\cos(60^\circ-\alpha)=\sin(30^\circ-\alpha)-\sin(30^\circ+\alpha).
\]
По формуле \(\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}\):\[
2\cos30^\circ\sin(-\alpha)=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot(-\sin\alpha)=-\sqrt3\sin\alpha.
\]
б) По формуле \(\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\):\[
\sin(30^\circ-\alpha)+\sin(30^\circ+\alpha)=2\sin30^\circ\cos(-\alpha)=2\cdot\frac12\cos\alpha=\cos\alpha.
\]
Оба тождества доказаны.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
a) sin (30 - а) - cos (60 - а) = -корень(3) sin а;
6) sin (30 - а) + sin (30 + а) = cos а.
