Упр.1024 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти точку касания для трапеции наибольшей площадиС пояснением
Пусть \(x₀ = t\), где \(0 ≤ t ≤ 1\). Тогда \(y_0 = t^2 + 1\).Производная функции равна \(y' = 2x\), поэтому уравнение касательной:
Кратко Пусть \(x₀ = t\), \(0 ≤ t ≤ 1\). Касательная имеет вид \(y = 2tx + 1 - t^2\). Она лежит не выше графика, поскольку разность ординат равна \((x - t)^2 \ge 0\).Площадь отсечённой трапеции:
\[y = 2t(x - t) + t^2 + 1 = 2tx + 1 - t^2.\]
На отрезке [0; 1] касательная расположена не выше графика, так как \((x^2 + 1) - (2tx + 1 - t^2) = (x - t)^2 \ge 0\). Её значения на концах отрезка положительны. Поэтому она отсекает трапецию с параллельными сторонами \(1 - t^2\) и \(1 + 2t - t^2\) и высотой 1.Площадь трапеции:\[S(t) = \frac{1 - t^2 + 1 + 2t - t^2}{2} = 1 + t - t^2 = \frac{5}{4} - \left(t - \frac{1}{2}\right)^2.\]
Наибольшее значение площади достигается при \(t = \dfrac{1}{2}\). Тогда \(y_0 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + 1 = \dfrac{5}{4}\).Ответ: \((1/2; 5/4)\).Кратко Пусть \(x₀ = t\), \(0 ≤ t ≤ 1\). Касательная имеет вид \(y = 2tx + 1 - t^2\). Она лежит не выше графика, поскольку разность ординат равна \((x - t)^2 \ge 0\).Площадь отсечённой трапеции:
\[S(t) = \frac{1 - t^2 + 1 + 2t - t^2}{2} = \frac{5}{4} - \left(t - \frac{1}{2}\right)^2.\]
Максимум достигается при \(t = \dfrac{1}{2}\); \(y_0 = 1 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{5}{4}\).Ответ: \((1/2; 5/4)\).Обозначим касательную через l(x). Её отрезок внутри фигуры образует с прямыми \(x=0\), \(x=1\) и \(y=0\) трапецию. Длины её параллельных сторон равны l(0) и l(1), а расстояние между ними равно 1. Поэтому
\[S=\frac{l(0)+l(1)}{2}.\]
Поскольку l(x) — линейная функция,\[\frac{l(0)+l(1)}{2}=l\left(\frac{1}{2}\right).\]
Следовательно, площадь трапеции равна ординате касательной при \(x=1/2\).Пусть касание происходит при \(x=t\). Тогда\[l(x)=2tx+1-t^2.\]
В точке \(x=1/2\) разность между ординатами параболы и касательной равна\[\left(\frac{1}{2}\right)^2+1-l\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}-t\right)^2\ge 0.\]
Значит,\[S=l\left(\frac{1}{2}\right)\le\left(\frac{1}{2}\right)^2+1=\frac{5}{4}.\]
Равенство возможно только при \(t=\dfrac{1}{2}\), то есть когда касательная проведена в точке самой параболы с абсциссой 1/2. Тогда\[y_0=\left(\frac{1}{2}\right)^2+1=\frac{5}{4}.\]
Ответ: \((1/2; 5/4)\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
Фигура ограничена линиями у = х2 + 1, у - 0, х = 0, х = 1. Найти точку (х0; у0) графика функции у = х2 + 1, через которую надо провести касательную к этому графику так, чтобы она отсекала от фигуры трапецию наибольшей площади.
