Упр.1023 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Найти площади фигур, ограниченных кривыми и касательнымиС пояснением
1) Касательная к параболе \(y=x^2+10\) в точке с абсциссой \(x_0\) имеет вид:
\(y=2x_0x-x_0^2+10\).Она проходит через точку (0; 1), поэтому:
\(y=6x+1\) и \(y=-6x+1\).Фигура симметрична относительно оси Oy, поэтому:
\(y(2)=1/2\), \(y'(2)=−1/4\).Уравнение касательной:
Кратко 1) Касательная к \(y=x^2+10\) в точке \(x_0\):
\(y=2x_0x-x_0^2+10\).
Так как она проходит через \((0; 1)\), то \(x_0=±3\). Касательные: \(y=6x+1\) и \(y=−6x+1\).
\(y=1−x/4\).
\(y=2x_0x-x_0^2+10\).Она проходит через точку (0; 1), поэтому:
\[1=-x_0^2+10,\]
\[x_0^2=9,\]
\[x_0=\pm 3.\]
Уравнения касательных:\(y=6x+1\) и \(y=-6x+1\).Фигура симметрична относительно оси Oy, поэтому:
\[S_1=2\int_0^3((x^2+10)-(6x+1))\,dx=\]
\[=2\int_0^3(x-3)^2\,dx=\]
\[=2\cdot\left.\left(\frac{(x-3)^3}{3}\right)\right|_0^3=18.\]
2) Для гиперболы \(y=1/x\) производная равна \(y'=−1/x^2\). При x=2:\(y(2)=1/2\), \(y'(2)=−1/4\).Уравнение касательной:
\[y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x-2),\]
\[y=1-\frac{x}{4}.\]
На отрезке [1; 2] гипербола расположена выше касательной, поэтому:\[S_2=\int_1^2\left(\frac{1}{x}-1+\frac{x}{4}\right)\,dx=\]
\[=\left.\left(\ln x-x+\frac{x^2}{8}\right)\right|_1^2=\]
\[=\ln 2-\frac{5}{8}.\]
Ответ: 1) 18 кв. ед.; 2) \(\ln 2-5/8\) кв. ед.Кратко 1) Касательная к \(y=x^2+10\) в точке \(x_0\):
\(y=2x_0x-x_0^2+10\).
Так как она проходит через \((0; 1)\), то \(x_0=±3\). Касательные: \(y=6x+1\) и \(y=−6x+1\).
\[S_1=2\int_0^3(x^2+10-6x-1)\,dx=2\int_0^3(x-3)^2\,dx=18.\]
2) При \(x=2\) касательная к \(y=1/x\) имеет вид:\(y=1−x/4\).
\[S_2=\int_1^2\left(\frac{1}{x}-1+\frac{x}{4}\right)\,dx=\left.\left(\ln x-x+\frac{x^2}{8}\right)\right|_1^2=\ln 2-\frac{5}{8}.\]
Ответ: 1) 18 кв. ед.; 2) \(\ln 2-5/8\) кв. ед.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
1) Параболой у - х2 + 10 и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0; 1);
2) гиперболой у = 1/x, прямой х = 1 и касательной к кривой y= 1/x в точке с абсциссой х=2.
