Упр.1018 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти площади фигур, ограниченных параболами и осью OxС пояснением
1) Найдём точку пересечения парабол, расположенную между их точками пересечения с осью \(Ox\) при \(x = 0\) и \(x = 3\):
\(6x^2 = (x − 3)(x − 4)\),
\(5x^{2}+7x-12=0\), откуда \(x = 1\) или \(x=-\dfrac{12}{5}\). Для искомой фигуры подходит \(x = 1\).
На отрезке [0; 1] верхняя граница фигуры — первая парабола, а на [1; 3] — вторая. Поэтому
\(4 − x^2 = (x − 2)^2\), откуда \(x = 0\) или \(x = 2\).
На отрезке [−2; 0] верхняя граница фигуры — первая парабола, а на [0; 2] — вторая. Следовательно,
Кратко 1) \(6x^2 = (x − 3)(x − 4)\); нужная точка пересечения имеет абсциссу \(x = 1\).
\(6x^2 = (x − 3)(x − 4)\),
\(5x^{2}+7x-12=0\), откуда \(x = 1\) или \(x=-\dfrac{12}{5}\). Для искомой фигуры подходит \(x = 1\).
На отрезке [0; 1] верхняя граница фигуры — первая парабола, а на [1; 3] — вторая. Поэтому
\[S_{1}=\int_{0}^{1}6x^{2}\,dx+\int_{1}^{3}(x^{2}-7x+12)\,dx=2+\frac{14}{3}=\frac{20}{3}.\]
2) Точки пересечения парабол находятся из уравнения\(4 − x^2 = (x − 2)^2\), откуда \(x = 0\) или \(x = 2\).
На отрезке [−2; 0] верхняя граница фигуры — первая парабола, а на [0; 2] — вторая. Следовательно,
\[S_2=\int_{-2}^{0}(4-x^2)\,dx+\int_{0}^{2}(x-2)^2\,dx=\frac{16}{3}+\frac{8}{3}=8.\]
Ответ: 1) \(20/3\); 2) 8.Кратко 1) \(6x^2 = (x − 3)(x − 4)\); нужная точка пересечения имеет абсциссу \(x = 1\).
\[S_{1}=\int_{0}^{1}6x^{2}\,dx+\int_{1}^{3}(x-3)(x-4)\,dx=2+\frac{14}{3}=\frac{20}{3}.\]
2) \(4 − x^2 = (x − 2)^2\); точки пересечения имеют абсциссы \(x = 0\) и \(x = 2\).\[S_2=\int_{-2}^{0}(4-x^2)\,dx+\int_{0}^{2}(x-2)^2\,dx=\frac{16}{3}+\frac{8}{3}=8.\]
Ответ: 1) \(20/3\); 2) 8.1) Параболы пересекаются в точке (1; 6), поэтому \(0 \le y \le 6\). Левая граница определяется уравнением \(y = 6x^2\):
\(\displaystyle x = \sqrt{y/6}\).Из \(y = x^2 - 7x + 12\) получаем
\(\displaystyle x = \dfrac{7 \pm \sqrt{1 + 4y}}{2}\).
Для правой границы нужна ветвь
\(\displaystyle x = \dfrac{7 - \sqrt{1 + 4y}}{2}\).Тогда
\(\displaystyle x = -\sqrt{4 - y}\),
а из \(y = (x - 2)^2\) для правой границы:
\(\displaystyle x = 2 - \sqrt{y}\).Следовательно,
\(\displaystyle x = \sqrt{y/6}\).Из \(y = x^2 - 7x + 12\) получаем
\(\displaystyle x = \dfrac{7 \pm \sqrt{1 + 4y}}{2}\).
Для правой границы нужна ветвь
\(\displaystyle x = \dfrac{7 - \sqrt{1 + 4y}}{2}\).Тогда
\[S_1 = \int_0^6 \left[\frac{7 - \sqrt{1 + 4y}}{2} - \sqrt{\frac{y}{6}}\right] \, dy\]
\[= 21 - \frac{31}{3} - 4 = \frac{20}{3}.\]
2) Верхняя точка границы — (0; 4), поэтому \(0 \le y \le 4\). Из \(y = 4 - x^2\) для левой границы имеем\(\displaystyle x = -\sqrt{4 - y}\),
а из \(y = (x - 2)^2\) для правой границы:
\(\displaystyle x = 2 - \sqrt{y}\).Следовательно,
\[S_2 = \int_0^4 [2 - \sqrt{y} + \sqrt{4 - y}] \, dy\]
\[= 8 - \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = 8.\]
Ответ: 1) \(20/3\); 2) \(8\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
1) Параболами у = 6л:2, у = (х - 3) (х - 4) и осью Ox;
2) параболами у = 4 - х2, у = (х - 2)2 и осью Ох.
