Упр.14.49 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение:
49. Докажите, что площадь многоугольника, описанного около окружности, равна половине произведения периметра многоугольника на радиус окружности.
Доказать: площадь многоугольника, описанного около окружности,
равна половине произведения периметра многоугольника на радиус
окружности;
Доказательство:
1) Пусть A1 A2 A3…An-многоугольник, описанный около окружности
радиуса R с центром в точке O;
2) Периметр этого многоугольника равен:
p=A1 A2+A2 A3+...+An A1;
3) Отметим точки H1, H2, …, Hn касания сторон многоугольника с
окружностью;
4) Отрезки OH1, OH2, OH3, …, OHn являются радиусами окружности:
OH1=OH2=...=OHn=R;
5) А так же по свойству касательной и радиуса они перпендикулярны
сторонам многоугольника;
6) Многоугольник A1 A2 A3…An состоит из треугольников:
A1 OA2, A2 OA3, …, An OA1 образованных его сторонами и отрезками
соединяющими его вершины с точкой O, а отрезки OH1, OH2, …, OHn
являются высотами этих треугольников;
5) Следовательно, площадь данного многоугольника равна:
S=S(A1 OA2)+S(A2 OA3 )+...+S(An OA1 );
S=1/2 A1 A2•OH1+1/2 A2 A3•OH2+...+1/2 An A1•OHn;
S=1/2 R•(A1 A2+A2 A3+...+An A1 )=p/2 R, что и требовалось доказать.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
