Упр.1391 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2025)
Решение #3 (Учебник 2025)ИИ
Варианты решения:
Докажите кратность выражения числу 4С пояснением
Раскроем квадрат разности и приведём подобные слагаемые:
= \(16n^3 + 4n^2 + 4n = 4n(4n^2 + n + 1)\).
При натуральном n выражение \(n(4n^2 + n + 1)\) — целое число. Значит, исходное выражение кратно 4.
Ответ: выражение кратно 4 при любом натуральном n.
Кратко
При натуральном n выражение \(n(4n^2 + n + 1)\) целое.
Ответ: выражение кратно 4 при любом натуральном n.
\(16n^4 − (4n^2 − 2n − 1)^2 + 8n + 1 =\)
= \(16n^4 − (16n^4 − 16n^3 − 4n^2 + 4n + 1) + 8n + 1\) == \(16n^3 + 4n^2 + 4n = 4n(4n^2 + n + 1)\).
При натуральном n выражение \(n(4n^2 + n + 1)\) — целое число. Значит, исходное выражение кратно 4.
Ответ: выражение кратно 4 при любом натуральном n.
Кратко
\(16n^4 − (4n^2 − 2n − 1)^2 + 8n + 1 =\)
\(16n^3 + 4n^2 + 4n = 4n(4n^2 + n + 1)\).При натуральном n выражение \(n(4n^2 + n + 1)\) целое.
Ответ: выражение кратно 4 при любом натуральном n.
Число \(4n^2 - 2n - 1\) нечётное. Обозначим \(k = 2n^2 - n - 1\). Тогда k — целое число и
\(4n^2 - 2n - 1\) = 2k + 1.Поэтому
16n⁴ − (\(4n^2 - 2n - 1\))² + 8n + 1 =
\(= 4(4n^4 - k^2 - k + 2n)\).Выражение в скобках целое, следовательно, исходное выражение кратно 4 при любом натуральном n.
\(4n^2 - 2n - 1\) = 2k + 1.Поэтому
16n⁴ − (\(4n^2 - 2n - 1\))² + 8n + 1 =
\(= 16n^4 - (2k + 1)^2 + 8n + 1 =\)
= \(16n^4 - 4k^2 - 4k - 1 + 8n + 1\) =\(= 4(4n^4 - k^2 - k + 2n)\).Выражение в скобках целое, следовательно, исходное выражение кратно 4 при любом натуральном n.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения 16n4 - (4n2 - 2n - 1)2 + 8n + 1 кратно 4.
