Упр.12.25 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение:
25. Докажите, что биссектриса треугольника не меньше высоты и не больше медианы, проведённых из этой же вершины.
Доказать: биссектриса треугольника не меньше высоты и не больше
медианы, проведенных из этой же вершины;
Доказательство:
1) В треугольник ABC проведем биссектрису BD, высоту BH и медиану BM;
2) BH является перпендикуляром к прямой AC, а BD-наклонной к
прямой AC, проведенной из той же точки B, значит по свойству
перпендикуляра и наклонных: BD>BH;
3) Пусть AB
4) Рассмотрим треугольники ABH и CBH:
угол AHB = углу CHB=90° и угол BCA<угол BAC, значит угол ABH<угол CBH;
угол ABC = углу ABH+ угол CBH, следовательно угол ABH<1/2 угол ABC;
5) По доказанному в предыдущей задаче:
Если ABугол CBM;
угол ABC = углу ABM+ угол CBM, следовательно угол CBM<1/2 угол ABC;
6) AD-биссектриса, значит угол ABD = углу CBD=1/2 угол ABC;
7) Таким образом, луч BH проходит внутри угла ABD, а луч BM проходит
внутри угла CBD, следовательно точка D лежит между точками H и M;
8) Аналогично доказывается, если AB>BC;
9) В треугольнике BHM, точка D лежит на стороне HM, значит по
доказанному в задаче 12.23, отрезок BD меньше по крайней мере одного
из отрезков BH или BM, но так как BD>BH, то BD
10) Если треугольник ABC-равнобедренный, то отрезки BH, BD и BM совпадают:
BH=BD=BM;
11) Следовательно, в общем случае будет:
BD>=BH и BD<=BM, что и требовалось доказать.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
