Упр.1105 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2025)
Решение #3 (Учебник 2025)ИИ
Варианты решения:
Докажите делимость суммы кубов на 3С пояснением
Пусть n, n + 1 и n + 2 — три последовательных натуральных числа. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
\(n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3 = n^3 + n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + n^3 + 6n^2 + 12n + 8 = 3n^3 + 9n^2 + 15n + 9 = 3(n^3 + 3n^2 + 5n + 3)\).
Выражение в скобках — целое число, поэтому сумма делится на 3.
Ответ: сумма кубов делится на 3.
Кратко Пусть числа равны n, n + 1 и n + 2. Тогда
\(n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3 = 3n^3 + 9n^2 + 15n + 9 = 3(n^3 + 3n^2 + 5n + 3)\).
Полученное выражение делится на 3.
Ответ: сумма кубов делится на 3.
\(n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3 = n^3 + n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + n^3 + 6n^2 + 12n + 8 = 3n^3 + 9n^2 + 15n + 9 = 3(n^3 + 3n^2 + 5n + 3)\).
Выражение в скобках — целое число, поэтому сумма делится на 3.
Ответ: сумма кубов делится на 3.
Кратко Пусть числа равны n, n + 1 и n + 2. Тогда
\(n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3 = 3n^3 + 9n^2 + 15n + 9 = 3(n^3 + 3n^2 + 5n + 3)\).
Полученное выражение делится на 3.
Ответ: сумма кубов делится на 3.
Для любого натурального числа k разность
\(k^3 - k = k(k - 1)(k + 1)\).
Это произведение трёх последовательных целых чисел, одно из которых обязательно делится на 3. Значит, \(k^3 - k\) делится на 3.Следовательно, для некоторого целого числа \(a\) можно записать \(k^3 = k + 3a\). Поэтому куб каждого натурального числа имеет при делении на 3 тот же остаток, что и само число.Пусть даны числа n, n + 1 и n + 2. Тогда их сумма равна
\(n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1)\),
то есть делится на 3. Сумма их кубов отличается от этой суммы на число, также делящееся на 3. Следовательно,
\(k^3 - k = k(k - 1)(k + 1)\).
Это произведение трёх последовательных целых чисел, одно из которых обязательно делится на 3. Значит, \(k^3 - k\) делится на 3.Следовательно, для некоторого целого числа \(a\) можно записать \(k^3 = k + 3a\). Поэтому куб каждого натурального числа имеет при делении на 3 тот же остаток, что и само число.Пусть даны числа n, n + 1 и n + 2. Тогда их сумма равна
\(n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1)\),
то есть делится на 3. Сумма их кубов отличается от этой суммы на число, также делящееся на 3. Следовательно,
\(n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3\)
делится на 3.Решение #4(Учебник 2021)
Решение #5(Учебник 2021)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится нацело на 3.
