Упр.3.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Найдите обратные функции и постройте графикиС пояснением
а) \(y = (x + 2)^2 - 12\). На отрезке \([-3; 0]\) функция не является взаимно однозначной: \(f(-3) = f(-1) = -11\). Обратной функции нет.б) \(y = (x + 2)^2 - 12\). На промежутке \((-\infty; -2)\) функция убывает, её множество значений — \((-12; +\infty)\). Выразим \(x\) с учётом \(x < -2\):
\(\displaystyle x + 2 = -\sqrt{y + 12},\quad x = -2 - \sqrt{y + 12}\).
Меняя \(x\) и \(y\) местами, получаем \(f^{-1}(x) = -2 - \sqrt{x + 12}\), \(x > -12\).
Для построения заданного графика отметим точки (−4; −8), (−3; −11); точка (−2; −12) не принадлежит графику. График обратной функции симметричен ему относительно прямой y = x: ему принадлежат точки (−8; −4), (−11; −3), а точка (−12; −2) выколота.в) \(y = -(x - 1)^2 + 7\). На отрезке \([0; 3]\) функция не является взаимно однозначной: \(f(0) = f(2) = 6\). Обратной функции нет.г) \(y = -(x - 1)^2 + 7\). На промежутке \([3; +\infty)\) функция убывает, её множество значений — \((-\infty; 3]\). Выразим \(x\) с учётом \(x \geq 3\):
\(\displaystyle x - 1 = \sqrt{7 - y},\quad x = 1 + \sqrt{7 - y}\).
Меняя \(x\) и \(y\) местами, получаем \(f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{7 - x}\), \(x \le 3\).
Для построения заданного графика отметим точки (3; 3), (4; −2), (5; −9). На симметричном ему относительно y = x графике обратной функции отметим точки (3; 3), (−2; 4), (−9; 5).Ответ: а), в) обратной функции нет; б) \(f^{-1}(x) = -2 - \sqrt{x + 12}\), \(x > -12\); г) \(f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{7 - x}\), \(x \le 3\).
Кратко а) \(f(-3) = f(-1) = -11\), поэтому обратной функции нет.б) Функция убывает при \(x < -2\). Из \(y = (x + 2)^2 - 12\) получаем \(x = -2 - \sqrt{y + 12}\). Значит, \(f^{-1}(x) = -2 - \sqrt{x + 12}\), \(x > -12\).
Точки для графика \(f\): \((-4; -8)\), \((-3; -11)\); точка \((-2; -12)\) выколота. Для графика \(f^{-1}\): \((-8; -4)\), \((-11; -3)\); точка \((-12; -2)\) выколота.в) \(f(0) = f(2) = 6\), поэтому обратной функции нет.г) Функция убывает при \(x \ge 3\). Из \(y = -(x - 1)^2 + 7\) получаем \(x = 1 + \sqrt{7 - y}\). Значит, \(f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{7 - x}\), \(x \le 3\).
Точки для графика \(f\): \((3; 3)\), \((4; -2)\), \((5; -9)\). Для графика \(f^{-1}\): \((3; 3)\), \((-2; 4)\), \((-9; 5)\).В пунктах б) и г) графики каждой пары функций симметричны относительно прямой y = x.
Ответ: а), в) обратной функции нет; б) \(f^{-1}(x) = -2 - \sqrt{x + 12}\), \(x > -12\); г) \(f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{7 - x}\), \(x \le 3\).
\(\displaystyle x + 2 = -\sqrt{y + 12},\quad x = -2 - \sqrt{y + 12}\).
Меняя \(x\) и \(y\) местами, получаем \(f^{-1}(x) = -2 - \sqrt{x + 12}\), \(x > -12\).
Для построения заданного графика отметим точки (−4; −8), (−3; −11); точка (−2; −12) не принадлежит графику. График обратной функции симметричен ему относительно прямой y = x: ему принадлежат точки (−8; −4), (−11; −3), а точка (−12; −2) выколота.в) \(y = -(x - 1)^2 + 7\). На отрезке \([0; 3]\) функция не является взаимно однозначной: \(f(0) = f(2) = 6\). Обратной функции нет.г) \(y = -(x - 1)^2 + 7\). На промежутке \([3; +\infty)\) функция убывает, её множество значений — \((-\infty; 3]\). Выразим \(x\) с учётом \(x \geq 3\):
\(\displaystyle x - 1 = \sqrt{7 - y},\quad x = 1 + \sqrt{7 - y}\).
Меняя \(x\) и \(y\) местами, получаем \(f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{7 - x}\), \(x \le 3\).
Для построения заданного графика отметим точки (3; 3), (4; −2), (5; −9). На симметричном ему относительно y = x графике обратной функции отметим точки (3; 3), (−2; 4), (−9; 5).Ответ: а), в) обратной функции нет; б) \(f^{-1}(x) = -2 - \sqrt{x + 12}\), \(x > -12\); г) \(f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{7 - x}\), \(x \le 3\).
Кратко а) \(f(-3) = f(-1) = -11\), поэтому обратной функции нет.б) Функция убывает при \(x < -2\). Из \(y = (x + 2)^2 - 12\) получаем \(x = -2 - \sqrt{y + 12}\). Значит, \(f^{-1}(x) = -2 - \sqrt{x + 12}\), \(x > -12\).
Точки для графика \(f\): \((-4; -8)\), \((-3; -11)\); точка \((-2; -12)\) выколота. Для графика \(f^{-1}\): \((-8; -4)\), \((-11; -3)\); точка \((-12; -2)\) выколота.в) \(f(0) = f(2) = 6\), поэтому обратной функции нет.г) Функция убывает при \(x \ge 3\). Из \(y = -(x - 1)^2 + 7\) получаем \(x = 1 + \sqrt{7 - y}\). Значит, \(f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{7 - x}\), \(x \le 3\).
Точки для графика \(f\): \((3; 3)\), \((4; -2)\), \((5; -9)\). Для графика \(f^{-1}\): \((3; 3)\), \((-2; 4)\), \((-9; 5)\).В пунктах б) и г) графики каждой пары функций симметричны относительно прямой y = x.
Ответ: а), в) обратной функции нет; б) \(f^{-1}(x) = -2 - \sqrt{x + 12}\), \(x > -12\); г) \(f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{7 - x}\), \(x \le 3\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Выясните, существует ли обратная функция для заданной функции.
Если да, то задайте обратную функцию аналитически, постройте график заданной и обратной функций:
а) у = х2 + 4х - 8, х принадлежит [-3; 0];
б) у = х2 + 4х - 8, х принадлежит (- бесконечность; -2);
в) у = -х2 + 2х + 6, х принадлежит [0; 3];
г) у = -х2 + 2х + 6, х принадлежит [3; + бесконечность).
