Упр.20.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Докажите тригонометрические тождестваС пояснением
а) По формуле тангенса разности и с учётом tg 45° = 1:
tg (45° − 2a) = (tg 45° − tg 2a)/(1 + tg 45° · tg 2a) = (1 − tg 2a)/(1 + tg 2a).б) По формулам тангенса суммы и разности:
tg (a + b) = (tg a + tg b)/(1 − tg a · tg b),
tg (a − b) = (tg a − tg b)/(1 + tg a · tg b).
Подставим эти выражения в левую часть и сократим дроби:
(tg a + tg b)/tg (a + b) + (tg a − tg b)/tg (a − b) = (1 − tg a · tg b) + (1 + tg a · tg b) = 2.Ответ: тождества доказаны для всех допустимых значений переменных.
Кратко а) tg (45° − 2a) = (tg 45° − tg 2a)/(1 + tg 45° · tg 2a) = (1 − tg 2a)/(1 + tg 2a).б) По формулам тангенса суммы и разности:
(tg a + tg b)/tg (a + b) = 1 − tg a · tg b;
(tg a − tg b)/tg (a − b) = 1 + tg a · tg b.
Их сумма равна 2.Ответ: тождества доказаны для всех допустимых значений переменных.
tg (45° − 2a) = (tg 45° − tg 2a)/(1 + tg 45° · tg 2a) = (1 − tg 2a)/(1 + tg 2a).б) По формулам тангенса суммы и разности:
tg (a + b) = (tg a + tg b)/(1 − tg a · tg b),
tg (a − b) = (tg a − tg b)/(1 + tg a · tg b).
Подставим эти выражения в левую часть и сократим дроби:
(tg a + tg b)/tg (a + b) + (tg a − tg b)/tg (a − b) = (1 − tg a · tg b) + (1 + tg a · tg b) = 2.Ответ: тождества доказаны для всех допустимых значений переменных.
Кратко а) tg (45° − 2a) = (tg 45° − tg 2a)/(1 + tg 45° · tg 2a) = (1 − tg 2a)/(1 + tg 2a).б) По формулам тангенса суммы и разности:
(tg a + tg b)/tg (a + b) = 1 − tg a · tg b;
(tg a − tg b)/tg (a − b) = 1 + tg a · tg b.
Их сумма равна 2.Ответ: тождества доказаны для всех допустимых значений переменных.
а) Для всех допустимых значений a:
\[\frac{1-\operatorname{tg} 2a}{1+\operatorname{tg} 2a}=\frac{1-\frac{\sin 2a}{\cos 2a}}{1+\frac{\sin 2a}{\cos 2a}}=\frac{\cos 2a-\sin 2a}{\cos 2a+\sin 2a}.\]
С другой стороны,\[\sin(45°-2a)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos 2a-\sin 2a),\]
\[\cos(45°-2a)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos 2a+\sin 2a).\]
Поэтому\[\operatorname{tg}(45°-2a)=\frac{\sin(45°-2a)}{\cos(45°-2a)}=\frac{\cos 2a-\sin 2a}{\cos 2a+\sin 2a}.\]
Следовательно, тождество доказано.б) Для всех допустимых значений a и b:\[\operatorname{tg} a+\operatorname{tg} b=\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\sin b}{\cos b}=\frac{\sin(a+b)}{\cos a\cos b},\]
\[\operatorname{tg} a-\operatorname{tg} b=\frac{\sin a}{\cos a}-\frac{\sin b}{\cos b}=\frac{\sin(a-b)}{\cos a\cos b}.\]
Тогда\[\frac{\operatorname{tg} a+\operatorname{tg} b}{\operatorname{tg}(a+b)}=\left[\frac{\sin(a+b)}{\cos a\cos b}\right]\cdot\left[\frac{\cos(a+b)}{\sin(a+b)}\right]=\frac{\cos(a+b)}{\cos a\cos b},\]
\[\frac{\operatorname{tg} a-\operatorname{tg} b}{\operatorname{tg}(a-b)}=\left[\frac{\sin(a-b)}{\cos a\cos b}\right]\cdot\left[\frac{\cos(a-b)}{\sin(a-b)}\right]=\frac{\cos(a-b)}{\cos a\cos b}.\]
Складывая, получаем\[\frac{\cos(a+b)+\cos(a-b)}{\cos a\cos b}=\frac{2\cos a\cos b}{\cos a\cos b}=2.\]
Оба тождества доказаны на области допустимых значений.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Докажите тождество:
a) (1 - tg 2a) / (1 + tg 2a) = tg (45 - 2a);
б) (tg a + tg b) / tg (a + b) + (tg a - tg b) / tg (a - b) = 2.
