Упр.636 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3 (Учебник 2026)ИИ
Докажите свойства чисел ФибоначчиС пояснением
В условии, вероятно, опечатка: рекуррентное соотношение должно выполняться при n ≥ 1. При записанном ограничении n > 2 свойства не обязательно верны: например, можно взять \(u_3 = u_4 = u_5 = \ldots = 0\).Докажем свойства для обычной последовательности Фибоначчи, где соотношение выполняется при n ≥ 1.а) При n = 1 имеем \(u_1 = u_2 = 1\). Предположим, что u₁ + u₃ + … + u₂ₙ₋₁ = u₂ₙ. Тогда для следующего значения n:
u₁ + u₃ + … + u₂ₙ₋₁ + u₂ₙ₊₁ = u₂ₙ + u₂ₙ₊₁ = u₂ₙ₊₂.б) При n = 1 имеем \(u_1^2 = u_1u_2 = 1\). Предположим, что u₁² + u₂² + … + uₙ² = uₙuₙ₊₁. Тогда:
u₁² + … + uₙ² + uₙ₊₁² = uₙuₙ₊₁ + uₙ₊₁² = uₙ₊₁(uₙ + uₙ₊₁) = uₙ₊₁uₙ₊₂.Ответ: оба свойства доказаны при исправленном условии n ≥ 1.
Кратко При n > 2 утверждения неверны: например, условиям удовлетворяет последовательность 1, 1, 0, 0, 0, … . При n = 2 оба равенства нарушаются.Для последовательности Фибоначчи рекуррентное соотношение должно выполняться при n ≥ 1. Докажем свойства индукцией.а) При n = 1: \(u_1 = u_2 = 1\). Если сумма до u₂ₙ₋₁ равна u₂ₙ, то при добавлении u₂ₙ₊₁ она равна u₂ₙ + u₂ₙ₊₁ = u₂ₙ₊₂.б) При n = 1: \(u_1^2 = u_1u_2 = 1\). Если сумма квадратов до uₙ² равна uₙuₙ₊₁, то при добавлении uₙ₊₁² она равна uₙ₊₁(uₙ + uₙ₊₁) = uₙ₊₁uₙ₊₂.Ответ: при n ≥ 1 оба свойства доказаны.
u₁ + u₃ + … + u₂ₙ₋₁ + u₂ₙ₊₁ = u₂ₙ + u₂ₙ₊₁ = u₂ₙ₊₂.б) При n = 1 имеем \(u_1^2 = u_1u_2 = 1\). Предположим, что u₁² + u₂² + … + uₙ² = uₙuₙ₊₁. Тогда:
u₁² + … + uₙ² + uₙ₊₁² = uₙuₙ₊₁ + uₙ₊₁² = uₙ₊₁(uₙ + uₙ₊₁) = uₙ₊₁uₙ₊₂.Ответ: оба свойства доказаны при исправленном условии n ≥ 1.
Кратко При n > 2 утверждения неверны: например, условиям удовлетворяет последовательность 1, 1, 0, 0, 0, … . При n = 2 оба равенства нарушаются.Для последовательности Фибоначчи рекуррентное соотношение должно выполняться при n ≥ 1. Докажем свойства индукцией.а) При n = 1: \(u_1 = u_2 = 1\). Если сумма до u₂ₙ₋₁ равна u₂ₙ, то при добавлении u₂ₙ₊₁ она равна u₂ₙ + u₂ₙ₊₁ = u₂ₙ₊₂.б) При n = 1: \(u_1^2 = u_1u_2 = 1\). Если сумма квадратов до uₙ² равна uₙuₙ₊₁, то при добавлении uₙ₊₁² она равна uₙ₊₁(uₙ + uₙ₊₁) = uₙ₊₁uₙ₊₂.Ответ: при n ≥ 1 оба свойства доказаны.
Решение #4(Учебник 2024)
Решение #5(Учебник 2024)
Решение #6(Учебник 2024)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Пусть (un) — последовательность чисел Фибоначчи, т. е. u1 = 1, u2 = 1, un+2 = un + un+1 при n > 2. Докажите, что эта последовательность обладает следующим свойством:
а) u1 + u3 + u5 + ... + u2n-1 = u2n;
б) u 2/1 + u 2/2 + u2/3 + ... + u 2/n = un * un+1.
Задание учебника 2024 года
Найдите шестой член геометрической прогрессии (bn), если известно, что b2 = 6, b4 = 24.
