Упр.632 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3 (Учебник 2026)ИИ
Варианты решения:
Докажите равенство для любого натурального nС пояснением
1) Представим каждое слагаемое в виде разности:
\(k(3k + 1) = k(k + 1)^2 - (k - 1)k^2\).2) Подставим эти разности в сумму. Все промежуточные слагаемые сократятся:
Кратко \(k(3k + 1) = k(k + 1)^2 - (k - 1)k^2\).Поэтому при сложении промежуточные слагаемые сокращаются:
\(k(3k + 1) = k(k + 1)^2 - (k - 1)k^2\).2) Подставим эти разности в сумму. Все промежуточные слагаемые сократятся:
\[1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + \ldots + n(3n + 1) =\]
\[= (1 \cdot 2^2 - 0 \cdot 1^2) + (2 \cdot 3^2 - 1 \cdot 2^2) + \ldots + (n(n + 1)^2 - (n - 1)n^2) = n(n + 1)^2.\]
Ответ: равенство доказано.Кратко \(k(3k + 1) = k(k + 1)^2 - (k - 1)k^2\).Поэтому при сложении промежуточные слагаемые сокращаются:
\[1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + \ldots + n(3n + 1) =\]
\[= (1 \cdot 2^2 - 0 \cdot 1^2) + \ldots + (n(n + 1)^2 - (n - 1)n^2) = n(n + 1)^2.\]
Ответ: равенство доказано.При \(n = 1\) получаем:
\(1 \cdot 4 = 1 \cdot (1 + 1)^2 = 4\).
Равенство верно.Предположим, что для некоторого натурального n верно:
\(1 \cdot 4 = 1 \cdot (1 + 1)^2 = 4\).
Равенство верно.Предположим, что для некоторого натурального n верно:
\[1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + \ldots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2.\]
Добавим следующее слагаемое:\[1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + \ldots + n(3n + 1) + (n + 1)(3(n + 1) + 1) =\]
\[= n(n + 1)^2 + (n + 1)(3n + 4) =\]
\[= (n + 1)(n(n + 1) + 3n + 4) =\]
\[= (n + 1)(n^2 + 4n + 4) =\]
\[= (n + 1)(n + 2)^2.\]
Это и есть правая часть равенства для n + 1. Следовательно, по принципу математической индукции равенство верно при любом натуральном n.Решение #4(Учебник 2024)
Решение #5(Учебник 2024)
Решение #6(Учебник 2024)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Докажите, что при любом натуральном п верно равенство
1 * 4 + 2 * 7 + 3 * 10 + ... + n(3n + 1) = n(n+1)2.
Задание учебника 2024 года
Последовательность (xn) — геометрическая прогрессия. Найдите: а) х1, если х6 = 0,32, q = 0,2; б) q, если х3 = -162, х5 = -18.
