Упр.630 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3 (Учебник 2026)ИИ
Варианты решения:
Докажите равенство для любого натурального nС пояснением
Докажем равенство методом математической индукции.
1) При n = 1 левая часть равна \(1 \cdot 2 = 2\), правая — \(\dfrac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 2\). Равенство верно.
2) Пусть равенство верно при n = k:
k(k + 1)(k + 2)/3 + (k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)/3.
Это правая часть исходного равенства при n = k + 1.
Ответ: равенство верно для любого натурального n.
Кратко При n = 1: \(1 \cdot 2 = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2\).
Пусть равенство верно при n = k. Тогда при n = k + 1:
k(k + 1)(k + 2)/3 + (k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)/3.
Ответ: равенство верно для любого натурального n по математической индукции.
1) При n = 1 левая часть равна \(1 \cdot 2 = 2\), правая — \(\dfrac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 2\). Равенство верно.
2) Пусть равенство верно при n = k:
\[1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k + 1) = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3}.\]
Тогда при n = k + 1 левая часть равнаk(k + 1)(k + 2)/3 + (k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)/3.
Это правая часть исходного равенства при n = k + 1.
Ответ: равенство верно для любого натурального n.
Кратко При n = 1: \(1 \cdot 2 = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2\).
Пусть равенство верно при n = k. Тогда при n = k + 1:
k(k + 1)(k + 2)/3 + (k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)/3.
Ответ: равенство верно для любого натурального n по математической индукции.
Для каждого натурального k представим слагаемое в виде разности:
\[k(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)}{3}.\]
Действительно,\[\frac{k(k+1)((k+2)-(k-1))}{3}=k(k+1).\]
Поэтому\[1\cdot2+2\cdot3+\ldots+n(n+1)=\frac{1\cdot2\cdot3-0\cdot1\cdot2}{3}+\frac{2\cdot3\cdot4-1\cdot2\cdot3}{3}+\ldots+\frac{n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)}{3}.\]
Все промежуточные произведения взаимно уничтожаются. Остаётся\[\frac{n(n+1)(n+2)-0\cdot1\cdot2}{3}=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}.\]
Следовательно, равенство верно при любом натуральном n.Решение #4(Учебник 2024)
Решение #5(Учебник 2024)
Решение #6(Учебник 2024)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Докажите, что при любом натуральном n верно равенство
1*2+2*3+3*4+..+n(n+1) =1n/3(n+1)(n+2).
Задание учебника 2024 года
Найдите первый член геометрической прогрессии (bn), если:
а) b6=3, q=3;
б) b5=17*1/2, q=-2*1/2.
