Упр.629 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3 (Учебник 2026)ИИ
Варианты решения:
Проверьте и докажите формулу суммы кубовС пояснением
1) Проверим формулу:
при \(n = 1\): \(1^3 = 1^2 \cdot 2^2/4 = 1\);
при n = 2: \(1^3 + 2^3 = 9 = \dfrac{2^2 \cdot 3^2}{4}\);
при n = 3: \(1^3 + 2^3 + 3^3 = 36 = \dfrac{3^2 \cdot 4^2}{4}\).2) Докажем формулу методом математической индукции. При \(n = 1\) она верна. Предположим, что при \(n = k\) верно равенство
Кратко Проверка:
\(n = 1\): \(1^3 = 1^2 \cdot 2^2/4 = 1\);
n = 2: \(1^3 + 2^3 = \dfrac{2^2 \cdot 3^2}{4} = 9\);
n = 3: \(1^3 + 2^3 + 3^3 = \dfrac{3^2 \cdot 4^2}{4} = 36\).Докажем по индукции. При \(n = 1\) формула верна. Пусть она верна при \(n = k\). Тогда
при \(n = 1\): \(1^3 = 1^2 \cdot 2^2/4 = 1\);
при n = 2: \(1^3 + 2^3 = 9 = \dfrac{2^2 \cdot 3^2}{4}\);
при n = 3: \(1^3 + 2^3 + 3^3 = 36 = \dfrac{3^2 \cdot 4^2}{4}\).2) Докажем формулу методом математической индукции. При \(n = 1\) она верна. Предположим, что при \(n = k\) верно равенство
\[1^3 + 2^3 + \ldots + k^3 = \frac{k^2(k + 1)^2}{4}.\]
Тогда при \(n = k + 1\) получаем:\[1^3 + 2^3 + \ldots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{k^2(k + 1)^2}{4} + (k + 1)^3\]
\[= \frac{(k + 1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4}\]
\[= \frac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4}.\]
Это и есть формула для \(n = k + 1\). Значит, по индукции она верна для любого натурального n.Ответ: формула верна при любом натуральном n.Кратко Проверка:
\(n = 1\): \(1^3 = 1^2 \cdot 2^2/4 = 1\);
n = 2: \(1^3 + 2^3 = \dfrac{2^2 \cdot 3^2}{4} = 9\);
n = 3: \(1^3 + 2^3 + 3^3 = \dfrac{3^2 \cdot 4^2}{4} = 36\).Докажем по индукции. При \(n = 1\) формула верна. Пусть она верна при \(n = k\). Тогда
\[1^3 + \ldots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{k^2(k + 1)^2}{4} + (k + 1)^3\]
\[= \frac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4}.\]
Это формула для \(n = k + 1\).Ответ: формула верна для любого натурального n.Проверим формулу:
при n = 1: \(1^3 = 1 = \dfrac{1^2\cdot 2^2}{4}\);
при n = 2: \(1^3 + 2^3 = 9 = \dfrac{2^2\cdot 3^2}{4}\);
при n = 3: \(1^3 + 2^3 + 3^3 = 36 = \dfrac{3^2\cdot 4^2}{4}\).Для любого натурального k верно:
\(\displaystyle k^3 = \left[\dfrac{k(k + 1)}{2}\right]^2 - \left[\dfrac{(k - 1)k}{2}\right]^2\),
поскольку
при n = 1: \(1^3 = 1 = \dfrac{1^2\cdot 2^2}{4}\);
при n = 2: \(1^3 + 2^3 = 9 = \dfrac{2^2\cdot 3^2}{4}\);
при n = 3: \(1^3 + 2^3 + 3^3 = 36 = \dfrac{3^2\cdot 4^2}{4}\).Для любого натурального k верно:
\(\displaystyle k^3 = \left[\dfrac{k(k + 1)}{2}\right]^2 - \left[\dfrac{(k - 1)k}{2}\right]^2\),
поскольку
\[\left[\frac{k(k + 1)}{2}\right]^2 - \left[\frac{(k - 1)k}{2}\right]^2 = \frac{k^2((k + 1)^2 - (k - 1)^2)}{4} = k^3.\]
Запишем по этому правилу все слагаемые:\[1^3 = \left(\frac{1\cdot 2}{2}\right)^2 - 0^2,\]
\[2^3 = \left(\frac{2\cdot 3}{2}\right)^2 - \left(\frac{1\cdot 2}{2}\right)^2,\]
\[3^3 = \left(\frac{3\cdot 4}{2}\right)^2 - \left(\frac{2\cdot 3}{2}\right)^2,\]
…\[n^3 = \left[\frac{n(n + 1)}{2}\right]^2 - \left[\frac{(n - 1)n}{2}\right]^2.\]
При сложении промежуточные квадраты взаимно уничтожаются. Поэтому\[1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = \left[\frac{n(n + 1)}{2}\right]^2 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4}.\]
Следовательно, формула верна при любом натуральном n.Решение #4(Учебник 2024)
Решение #5(Учебник 2024)
Решение #6(Учебник 2024)
Решение #7 (Учебник 2024)ИИ
Варианты решения:
Найдите площадь треугольника \(A_3BC_3\)С пояснением
1) Каждый новый треугольник подобен предыдущему с коэффициентом \(1/2\), так как его стороны лежат на половинах соответствующих сторон предыдущего треугольника. Поэтому его площадь составляет \(1/4\) площади предыдущего.
2) За три шага площадь уменьшится в \(4^3\) раз: \(768 : 4^3 = 12\) (см²).
Ответ: 12 см².
Кратко Площадь каждого нового треугольника составляет \(1/4\) площади предыдущего.
\(768 : 4^3 = 12\) (см²).
Ответ: 12 см².
2) За три шага площадь уменьшится в \(4^3\) раз: \(768 : 4^3 = 12\) (см²).
Ответ: 12 см².
Кратко Площадь каждого нового треугольника составляет \(1/4\) площади предыдущего.
\(768 : 4^3 = 12\) (см²).
Ответ: 12 см².
Точка A₁ — середина AB, поэтому \(BA_1 = \dfrac{BA}{2}\). Точка C₁ — середина BC. Поскольку расстояние от точки B до прямой AB равно нулю, расстояние от середины C₁ отрезка BC до прямой AB в 2 раза меньше высоты, проведённой из C к AB. Значит, у треугольника A₁BC₁ и основание, и соответствующая высота в 2 раза меньше, чем у треугольника ABC. Поэтому его площадь в 4 раза меньше.То же рассуждение применимо на каждом следующем шаге. Следовательно,
\[768 : 4 = 192\text{ см}^2,\]
\[192 : 4 = 48\text{ см}^2,\]
\[48 : 4 = 12\text{ см}^2.\]
Ответ: 12 см².
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Проверьте, что при n = 1, 2, 3 верна формула
1^3+2^3+3^3+..+n3=(n2(n+1)2)/4.
Докажите, что эта формула верна при любом натуральном n.
Задание учебника 2024 года
В треугольнике ABC (рис. 79) провели среднюю линию A1Cl, в треугольнике А1ВС1 также провели среднюю линию А2С2, во вновь образовавшемся треугольнике А2ВС2 снова провели среднюю линию А3С3 и т. д. Найдите площадь треугольника А9ВС9, если известно, что площадь треугольника ABC равна 768 см2.
