Упр.501 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3(Учебник 2026)
Решение #4(Учебник 2024)
Решение #5(Учебник 2024)
Решение #6(Учебник 2024)
Решение #7(Учебник 2024)
Решение #8 (Учебник 2024)ИИ
Варианты решения:
Исследовать множество решений системы неравенствС пояснением
Каждое неравенство задаёт полуплоскость вместе с граничной прямой: первое — ниже прямой y = 3x − 1, второе — выше прямой y = kx + b. Решение системы — их общая часть.1) Если k = 3, прямые параллельны или совпадают. При b < −1 вторая прямая лежит ниже первой, поэтому общая часть — полоса с границами. При b = −1 прямые совпадают, и общая часть — эта прямая. При b > −1 общих точек нет.2) Если k ≠ 3, прямые пересекаются. Общая часть полуплоскостей — один из углов, образованных этими прямыми, включая его стороны.Схематические рисунки: штриховкой обозначена общая часть, границы включены.Полоса, например при k = 3, b = −3:
Кратко Первое неравенство задаёт полуплоскость ниже прямой y = 3x − 1, второе — полуплоскость выше прямой y = kx + b; границы входят в обе полуплоскости.При k = 3 прямые параллельны или совпадают: b < −1 даёт полосу, b = −1 — прямую, b > −1 — отсутствие решений. При k ≠ 3 прямые пересекаются, и их общая часть является углом.Например, система y ≤ 3x − 1, y ≥ 3x не имеет решений.Ответ: а) k = 3, b < −1; б) k ≠ 3; в) k = 3, b = −1. Решений нет при k = 3, b > −1.
/▒▒▒▒/
/▒▒▒▒/
/▒▒▒▒/ Левая прямая на рисунке — y = 3x − 1, правая — y = 3x − 3.Угол, например при k = −1, b = −1: /▒▒▒▒
/▒▒▒▒▒
●▒▒▒▒▒▒
\▒▒▒▒▒
\▒▒▒▒Верхняя граница угла — луч прямой y = 3x − 1, нижняя — луч прямой y = −x − 1.Прямая при k = 3, b = −1: /
/
/Например, при k = 3, b = 0 система y ≤ 3x − 1, y ≥ 3x не имеет решений: 3x больше 3x − 1 при любом x.Ответ: а) k = 3, b < −1; б) k ≠ 3; в) k = 3, b = −1. Решений нет при k = 3, b > −1.Кратко Первое неравенство задаёт полуплоскость ниже прямой y = 3x − 1, второе — полуплоскость выше прямой y = kx + b; границы входят в обе полуплоскости.При k = 3 прямые параллельны или совпадают: b < −1 даёт полосу, b = −1 — прямую, b > −1 — отсутствие решений. При k ≠ 3 прямые пересекаются, и их общая часть является углом.Например, система y ≤ 3x − 1, y ≥ 3x не имеет решений.Ответ: а) k = 3, b < −1; б) k ≠ 3; в) k = 3, b = −1. Решений нет при k = 3, b > −1.
Для существования подходящего y необходимо и достаточно, чтобы нижняя граница не превосходила верхнюю:kx + b ≤ 3x − 1,
(k − 3)x ≤ −1 − b.Каждое допустимое значение x задаёт все точки, для которых kx + b ≤ y ≤ 3x − 1. При этом y ≤ 3x − 1 задаёт полуплоскость ниже первой прямой, а y ≥ kx + b — полуплоскость выше второй; граничные прямые включены.Если k = 3, получаем условие 0 ≤ −1 − b.При b < −1 оно выполняется для любого x, причём между значениями 3x + b и 3x − 1 остаётся постоянный положительный промежуток. Поэтому получается полоса между двумя параллельными прямыми.Например, k = 3, b = −2:
(k − 3)x ≤ −1 − b.Каждое допустимое значение x задаёт все точки, для которых kx + b ≤ y ≤ 3x − 1. При этом y ≤ 3x − 1 задаёт полуплоскость ниже первой прямой, а y ≥ kx + b — полуплоскость выше второй; граничные прямые включены.Если k = 3, получаем условие 0 ≤ −1 − b.При b < −1 оно выполняется для любого x, причём между значениями 3x + b и 3x − 1 остаётся постоянный положительный промежуток. Поэтому получается полоса между двумя параллельными прямыми.Например, k = 3, b = −2:
/ y = 3x − 1
/▒
/▒
/ y = 3x − 2При b = −1 обе границы равны: y = 3x − 1. Для каждого x возможно только одно значение y, поэтому множество решений является прямой: /
/ y = 3x − 1
/При b > −1 условие 0 ≤ −1 − b неверно, поэтому решений нет. Например, при k = 3, b = 2 пришлось бы одновременно выполнять y ≤ 3x − 1 и y ≥ 3x + 2, что невозможно.Если k ≠ 3, неравенство задаёт полупрямую значений x:при k > 3: x ≤ (−1 − b)/(k − 3);при k < 3: x ≥ (−1 − b)/(k − 3).В граничной точке прямые пересекаются, а по одну сторону от неё промежуток между kx + b и 3x − 1 расширяется. Поэтому множество решений является углом, включая его стороны.Например, при k = −3, b = −1 вершина имеет координаты (0; −1): / y = 3x − 1
/▒
●▒▒▒
\▒
\ y = −3x − 1Ответ: а) полоса при k = 3, b < −1; б) угол при k ≠ 3; в) прямая при k = 3, b = −1. Система не имеет решений при k = 3, b > −1.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Решите систему уравнений:
а) система
x2+y2+x+y=18,
x2-y2+x-y=6;
б) система
x2y2+xy=72,
x+y=6;
в) система
(x+y)2-2(x+y)=15,
x+xy+y=11;
г) система
(x+y)2-4(x+y)=45,
(x-y)2-2(x-y)=3.
Задание учебника 2024 года
(Задача-исследование.) При каких значениях k и b система неравенств y < = 3x-1 задаёт на координатной плоскости: y > = kx + b
а) полосу; б) угол; в) прямую?
Может ли эта система не иметь решений?
1) Обсудите, какое множество точек задаст на координатной плоскости каждое неравенство системы.
2) Выясните, при каких значениях k и b система неравенств задаёт полосу; угол; прямую.
3) Для каждого случая проиллюстрируйте свой ответ рисунком.
4) Приведите пример, когда такая система неравенств не имеет решений.
