Упр.1526 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти угол при наибольшем объёме пирамидыС пояснением
Пусть R и H — радиус основания и высота конуса. Высота вписанной пирамиды также равна H, поэтому её объём наибольший, когда наибольшая площадь S основания.По теореме синусов основание равнобедренного треугольника равно \(2R\sin a\), а каждая из равных сторон — \(2R\cos(a/2)\). Следовательно,
Кратко Пусть R — радиус основания конуса. Объём пирамиды максимален при максимальной площади её основания:
Функция \(f\) возрастает до \(x = 1/2\) и убывает после него. Поэтому \(\cos a = 1/2\), откуда \(a = 60°\).
Ответ: 60°.
\[S = \frac{1}{2}\cdot (2R\cos(a/2))^2\cdot\sin a = R^2(1 + \cos a)\sin a.\]
Положим \(x = \cos a\), где \(-1 < x < 1\). Так как \(S > 0\), достаточно найти максимум функции\[f(x) = (S/R^2)^2 = (1 + x)^3(1 - x).\]
\(f'(x) = 2(1 + x)^2(1 − 2x)\).Производная положительна при \(x < 1/2\) и отрицательна при \(x > 1/2\). Значит, максимум достигается при \(\cos a = 1/2\), то есть при \(a = 60°\).Ответ: \(a = 60°\).Кратко Пусть R — радиус основания конуса. Объём пирамиды максимален при максимальной площади её основания:
\[S = R^2(1 + \cos a)\sin a.\]
Положим \(x = \cos a\), \(-1 < x < 1\). Тогда\[f(x) = (S/R^2)^2 = (1 + x)^3(1 - x),\]
\(f'(x) = 2(1 + x)^2(1 − 2x)\).Функция \(f\) возрастает до \(x = 1/2\) и убывает после него. Поэтому \(\cos a = 1/2\), откуда \(a = 60°\).
Ответ: 60°.
Пусть R и H — радиус основания и высота конуса, S — площадь основания пирамиды. Тогда
\(V_{\text{пир}} = \dfrac{HS}{3}\), а \(V = \dfrac{\pi R^2H}{3}\),
поэтому
\(p, q/3, q/3, q/3\):
\(V_{\text{пир}} = \dfrac{HS}{3}\), а \(V = \dfrac{\pi R^2H}{3}\),
поэтому
\[V_{\text{пир}} = \frac{V\cdot S}{\pi R^2}.\]
Следовательно, достаточно найти наибольшее значение \(S/R^2\).Положим \(x = \alpha/2\), тогда \(0° < x < 90°\). Равные стороны вписанного треугольника имеют длину \(2R \cos x\), поэтому\[S = \frac{1}{2}\cdot(2R\cos x)^2\cdot\sin 2x = 4R^2\sin x\cos^3x.\]
Обозначим \(p = \sin^2x\), \(q = \cos^2x\). Тогда \(p + q = 1\). Применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом к числам\(p, q/3, q/3, q/3\):
\[\left(\frac{p\cdot q^3}{27}\right)^{1/4} \leq \frac{p + q}{4} = \frac{1}{4}.\]
Отсюда \(pq^3 \leq 27/256\), поэтому\[\sin x\cos^3x = \sqrt{pq^3} \leq \frac{3\sqrt{3}}{16}.\]
Равенство достигается, когда\[p = \frac{q}{3},\]
то есть \(3\sin^2x = \cos^2x\). Следовательно,\[\tan^2x = \frac{1}{3}.\]
Так как 0° < x < 90°, получаем x = 30°. Поэтому\[\alpha = 2x = 60°.\]
Ответ: 60°.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
В конус с заданным объёмом V вписана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным а. При каком значении а объём пирамиды будет наибольшим?
