Упр.1015 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Разбор 1 Найти площадь фигуры между графиками и осью Ox
Варианты решения:
Найти площадь фигуры между графиками и осью OxС пояснением
График \(y = \sqrt{x}\) пересекает ось Ox при x = 0, а график \(y = (x − 2)^2\) — при x = 2. На отрезке [0; 2] первая функция возрастает, а вторая убывает. Их графики пересекаются при x = 1: \(\sqrt{1} = (1 - 2)^2 = 1\).Искомая фигура расположена под графиком \(y = \sqrt{x}\) на отрезке \([0; 1]\) и под графиком \(y = (x − 2)^2\) на отрезке \([1; 2]\). Поэтому
Кратко Точки пересечения с осью \(Ox\): \(x = 0\) и \(x = 2\). На отрезке \([0; 2]\) графики пересекаются при \(x = 1\).
\[S = \int_0^1 \sqrt{x}\,dx + \int_1^2 (x - 2)^2\,dx\]
\[= \left[\frac{2x\sqrt{x}}{3}\right]_0^1 + \left[\frac{(x - 2)^3}{3}\right]_1^2\]
\[= \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1.\]
Ответ: 1.Кратко Точки пересечения с осью \(Ox\): \(x = 0\) и \(x = 2\). На отрезке \([0; 2]\) графики пересекаются при \(x = 1\).
\[S = \int_0^1 \sqrt{x}\,dx + \int_1^2 (x - 2)^2\,dx\]
\[= \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1.\]
Ответ: 1.Рассмотрим горизонтальные сечения фигуры. Значение y изменяется от 0 до 1.Из \(y = \sqrt{x}\) получаем левую границу \(x = y^2\).Для правой границы из \(y = (x - 2)^2\) на ветви \(x \leq 2\) получаем \(x = 2 - \sqrt{y}\).Длина горизонтального сечения равна
\(\displaystyle (2 - \sqrt{y}) - y^2\).Поэтому
\(\displaystyle (2 - \sqrt{y}) - y^2\).Поэтому
\[S = \int_0^1 (2 - \sqrt{y} - y^2)\,dy\]
\[= \left[2y - \frac{2y\sqrt{y}}{3} - \frac{y^3}{3}\right]_0^1\]
\[= 2 - \frac{2}{3} - \frac{1}{3}\]
\[= 1.\]
Ответ: 1.Разбор 2 Найти площадь фигуры между графиками и осью Ox
Варианты решения:
Найти площадь фигуры между графиками и осью OxС пояснением
Найдём точки пересечения графиков:
Кратко \(x^{3} = 2x − x^{2}\); \(x(x + 2)(x − 1) = 0\). Нужные границы: \(x = 0\), \(x = 1\) и \(x = 2\).
\(S = \int_{0}^{1} x^{3} dx + \int_{1}^{2} (2x − x^{2}) dx = 1/4 + 2/3 = 11/12\).
Ответ: 11/12.
\[x^3 = 2x - x^2;\]
\[x(x + 2)(x - 1) = 0.\]
Получаем \(x = −2, 0, 1\). Для искомой фигуры нужны точки с \(x = 0\) и \(x = 1\); парабола также пересекает ось Ox при \(x = 2\).На отрезке [0; 1] фигура ограничена сверху графиком \(y = x^3\), а на [1; 2] — графиком \(y = 2x - x^2\). Поэтому\(S = \int_0^1 x^3\,dx + \int_1^2 (2x − x^2)\,dx =\)
\(= [x^{4}/4]_{0}^{1} + [x^{2} − x^{3}/3]_{1}^{2} = 1/4 + 2/3 = 11/12\).Ответ: 11/12.Кратко \(x^{3} = 2x − x^{2}\); \(x(x + 2)(x − 1) = 0\). Нужные границы: \(x = 0\), \(x = 1\) и \(x = 2\).
\(S = \int_{0}^{1} x^{3} dx + \int_{1}^{2} (2x − x^{2}) dx = 1/4 + 2/3 = 11/12\).
Ответ: 11/12.
Выразим x через y для границ фигуры. Из \(y=x^3\) получаем \(x=\sqrt[3]{y}\). Параболу запишем в виде \(y=1-(x-1)^2\). Её правая ветвь, образующая границу фигуры, задаётся формулой \(x=1+\sqrt{1-y}\).Значение y изменяется от 0 до 1. Длина горизонтального сечения равна
\(\displaystyle 1+\sqrt{1-y}-\sqrt[3]{y}\).Поэтому
\(\displaystyle 1+\sqrt{1-y}-\sqrt[3]{y}\).Поэтому
\[
S=\int_0^1\left(1+\sqrt{1-y}-\sqrt[3]{y}\right)\,dy
=1+\frac{2}{3}-\frac{3}{4}
=\frac{11}{12}.
\]
Ответ: \(\frac{11}{12}\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
1) Графиками функций у = корень х, у-(х-2)2 и осью Ох;
2) графиками функций у = х3, у = 2х - х2 и осью Ох.
