Вопрос 14 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение:
14. Сформулируйте и докажите свойство и признак описанного четырёхугольника.
I) Свойство и признак описанного четырехугольника:
В описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны;
и наоборот: если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих
сторон равны, то в него можно вписать окружность;
II) Отобразим условие задачи:
Доказать: свойство и признак описанного четырехугольника;
Доказательство:
1) Пусть стороны описанного четырехугольника ABCD касаются
окружности в точках K, L, M и N;
2) По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки:
AK=AN, BK=BL, CL=CM и DM=DN;
3) Получаем: (AK+KB)+(CM+MD)=(AN+ND)+(BL+LC), то есть
AB+CD=AD+BC, значит свойство описанного четырехугольника
доказано.
4) Обратно: пусть у выпуклого четырехугольника ABCD суммы
противолежащих сторон равны: AB+CD=BC+AD;
5) Если ABCD-ромб, то он является описанным около окружности с
центром в точке пересечения его диагоналей;
6) Рассмотрим теперь случай, когда у выпуклого четырехугольника
есть неравные соседние стороны;
7) Допустим, что AB>BC, а значит, AD>CD;
8) Отложим на сторонах с общей вершиной A следующие отрезки:
BM=BC, DN=CD;
9) AB+CD=BC+AD, отсюда AB-BC=AD-CD, значит:
AM=AB-BC=AD-CD=AN;
10) Треугольник AMN-равнобедренный с основанием MN;
11) Треугольник CBM-равнобедренный с основанием CM;
12) Треугольник CDN-равнобедренный с основанием CN;
13) По свойству медианы равнобедренного треугольника медианы этих
треугольников, проведенные к их основаниям, являются их высотами,
значит прямые, содержащие эти высоты-серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника CMN и поэтому пересекаются в одной точке O;
14) Те же самые медианы являются и биссектрисами равнобедренных
треугольников AMN, CBM и CDN, поэтому лучи AO, BO и DO-биссектрисы
углов A, B и D четырехугольника ABCD, которые образуют с его сторонами
острые углы, так как по услвию данный четыреухгольник выпуклый;
15) Значит по свойсту биссектрисы точка O равноудалена от всех сторон
четырехугольника ABCD, и поэтому он является описанным около
окружности с центром в этой точке, следовательно признак описанного
четырехугольника доказан.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением