Вопрос 15 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение:
15. Докажите, что правильные выпуклые д-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны.
Доказать: правильные выпуклые n- угольники подобны; в частности,
если у них стороны одинаковы, то они равны;
Доказательство:
1) Докажем сначала второе утверждение, пусть:
P1: A1 A2…An и P2: B1 B2…Bn-правильные выпуклые n- угольники с
одинаковыми сторонами, докажем, что они равны, то есть совмещаются
движением;
2) Треугольники A1 A2 A3 и B1 B2 B3 равны по первому прзнаку, у них:
A1 A2=B1 B2, A2 A3=B2 B3 и угол A1 A2 A3 = углуB1 B2 B3;
3) Подвергнем многоугольник P1 движению, при котором его вершины
A1, A2 и A3 переходят в вершины B1, B2 и B3 соответственно, так как
треугольники с вершинами в этих точках равны, то такое движение
существует;
4) При этом вершина A4 перейдет в нектороую точку C;
5) Точки B4 и C лежат по одну сторону с точкой B1 относительно
прямой B2 B3;
6) Так как движение сохраняет углы и растояния, то:
угол B2 B3 C = углу B2 B3 B4 и B2 C=B3 B4, следовательно точка C совпадает с
точкой B4;
7) Таким образом, при нашем движении вершина A4 переходит в
вершину B4;
8) Далее таким же способом заключаем, что вершина A5 переходит в
вершину B5 и так далее, то есть многоугольник P1 переводится
движением в многоугольник P2, а значит они равны.
9) Теперь докажем первое утверждение, подвергнем сначала мноуголь-
ник P1 преобразованию подобия, наприсер гомотетии, с коэффициентом:
k=(B1 B2)/(A1 A2);
10) При этом получим правильный n- угольник P' с таким же сторонами,
как и у многоугольника P2;
11) По доказанному многоугольники P' и P2 равны, а так как n-угольники
P' и P1 подобны, то и треугольники P1 и P2 подобны, что и требоваось
Доказать.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
