Вопрос 8 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение:
8. Докажите, что правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.
Доказать: правильный многоугольник является вписанным в
окружность и описанным около окружности;
Доказательство:
1) Пусть A и B-две соседние вершины правильного многоугольника;
2) Проведем биссектрисы углов многоугольника из вершин A и B, они
пересекутся в некоторой точке O;
3) Треугольник AOB-равнобедренный с основанием AB и углами при
основании, равными a/2, где a- угол многоугольника;
4) Соединим точку O с вершиной C, соседней с B;
5) Рассмотрим треугольники ABO и CBO:
AB=CB (как стороны правильного многоугольника), OB-общая
сторона, а углы при вершине B равны a/2, значит эти треугольники равны
по первому признаку, отсюда следует что:
Треугольник CBO-равнобедренный с углом при вершине C, равным a/2, то есть
CO-биссектриса угла C многоугольника;
6) Теперь соединим точку O с вершиной D, соседней с C, аналогично
доказывается, что треугольник COD-равнобедренный и
DO-биссектриса угла D многоугольника;
7) В итогу получается, что каждый треугольник, у которого одна сторона
есть сторона многоугольника, а противолежащая вершина-точка O,
является равнобедренным и равным другим таким треугольникам;
8) Проведем высоты OH1, OH2, OH3… этих треугольников, они будут
равны как катеты равных прямоугольных треугольников с одинаковыми
гипотенузами и острыми углами;
9) Таким образом, все вершины треугольника находятся на окружности
с центром O и радиусом, равным боковым сторонам треугольников, а все
стороны многоугольника касаются окружности с центром O и радиусом,
равным высотам треугольников, опущенным из вершины O, что и
требовалось доказать.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
