Упр.675 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2025)
Решение #3 (Учебник 2025)ИИ
Варианты решения:
Докажите свойства разности квадратов последовательных чиселС пояснением
1) Пусть 2n и 2n + 2 — последовательные чётные числа, где n — целое число. По формуле разности квадратов:
\((2n + 2)^2 − (2n)^2 = (2n + 2 − 2n)(2n + 2 + 2n) = 2((2n + 2) + 2n)\).
Это удвоенная сумма данных чисел.2) Пусть 2n + 1 и 2n + 3 — последовательные нечётные числа. Тогда:
\((2n + 3)^2 − (2n + 1)^2 = 2(4n + 4) = 8(n + 1)\).
Так как n + 1 — целое число, разность делится на 8.Ответ: оба утверждения доказаны.
Кратко 1) Для последовательных чётных чисел 2n и 2n + 2:
\((2n + 2)^2 − (2n)^2 = 2((2n + 2) + 2n)\).2) Для последовательных нечётных чисел 2n + 1 и 2n + 3:
\((2n + 3)^2 − (2n + 1)^2 = 2(4n + 4) = 8(n + 1)\), что делится на 8.
Здесь n — целое число.Ответ: оба утверждения доказаны.
\((2n + 2)^2 − (2n)^2 = (2n + 2 − 2n)(2n + 2 + 2n) = 2((2n + 2) + 2n)\).
Это удвоенная сумма данных чисел.2) Пусть 2n + 1 и 2n + 3 — последовательные нечётные числа. Тогда:
\((2n + 3)^2 − (2n + 1)^2 = 2(4n + 4) = 8(n + 1)\).
Так как n + 1 — целое число, разность делится на 8.Ответ: оба утверждения доказаны.
Кратко 1) Для последовательных чётных чисел 2n и 2n + 2:
\((2n + 2)^2 − (2n)^2 = 2((2n + 2) + 2n)\).2) Для последовательных нечётных чисел 2n + 1 и 2n + 3:
\((2n + 3)^2 − (2n + 1)^2 = 2(4n + 4) = 8(n + 1)\), что делится на 8.
Здесь n — целое число.Ответ: оба утверждения доказаны.
Пусть a и a + 2 — два последовательных числа.1) Сначала предположим, что a ≥ 0. Квадрат со стороной a + 2 получается из квадрата со стороной a добавлением двух прямоугольных полос: со сторонами 2 и a, а также 2 и a + 2. Поэтому разность площадей равна
\(2a + 2(a + 2) = 2(a + (a + 2))\),
то есть удвоенной сумме данных чисел.Если оба чётных числа неположительны, рассмотрим их модули. Они также отличаются на 2, но располагаются в обратном порядке, поэтому и разность квадратов, и удвоенная сумма меняют знак. Равенство сохраняется.2) Для неотрицательных последовательных нечётных чисел a и a + 2 то же разбиение даёт
\((a + 2)^2 - a^2 = 2(a + (a + 2)) = 4(a + 1)\).
Число a + 1 чётное, поэтому \(a + 1 = 2k\) для некоторого целого k. Следовательно,
\(4(a + 1) = 8k\),
то есть разность квадратов делится на 8.Для отрицательных нечётных чисел разность квадратов противоположна разности квадратов их положительных модулей, а потому также делится на 8. Для пары −1 и 1 разность квадратов равна 0, что тоже делится на 8.Оба утверждения доказаны.
\(2a + 2(a + 2) = 2(a + (a + 2))\),
то есть удвоенной сумме данных чисел.Если оба чётных числа неположительны, рассмотрим их модули. Они также отличаются на 2, но располагаются в обратном порядке, поэтому и разность квадратов, и удвоенная сумма меняют знак. Равенство сохраняется.2) Для неотрицательных последовательных нечётных чисел a и a + 2 то же разбиение даёт
\((a + 2)^2 - a^2 = 2(a + (a + 2)) = 4(a + 1)\).
Число a + 1 чётное, поэтому \(a + 1 = 2k\) для некоторого целого k. Следовательно,
\(4(a + 1) = 8k\),
то есть разность квадратов делится на 8.Для отрицательных нечётных чисел разность квадратов противоположна разности квадратов их положительных модулей, а потому также делится на 8. Для пары −1 и 1 разность квадратов равна 0, что тоже делится на 8.Оба утверждения доказаны.
Решение #4(Учебник 2021)
Решение #5(Учебник 2021)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что:
1) разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел;
2) разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится нацело на 8.
Задание учебника 2021 года
Какому из данных выражений тождественно равен многочлен а3-27:
1) (а - 3)(а2 + 6а + 9);
2) (а - 3) (а2 - 9);
3) (а - 3)(а2 - 3а + 9);
4) (а - 3) (а2 + 3а + 9)?
