Упр.674 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2025)
Решение #3 (Учебник 2025)ИИ
Варианты решения:
Докажите свойства разности квадратов последовательных чиселС пояснением
1) Пусть n и n + 1 — последовательные натуральные числа. По формуле разности квадратов:
\((n + 1)^2 − n^2 = ((n + 1) − n)((n + 1) + n) = n + (n + 1)\).
Получили сумму этих чисел.2) Пусть 2n и 2n + 2 — последовательные чётные натуральные числа. Тогда:
\((2n + 2)^2 − (2n)^2 = 2(4n + 2) = 4(2n + 1)\).
Полученное выражение делится на 4.Ответ: оба утверждения доказаны.
Кратко 1) Для последовательных натуральных чисел n и n + 1:
\((n + 1)^2 − n^2 = ((n + 1) − n)((n + 1) + n) = n + (n + 1)\).2) Для последовательных чётных чисел 2n и 2n + 2:
\((2n + 2)^2 − (2n)^2 = 2(4n + 2) = 4(2n + 1)\), поэтому разность делится на 4.Ответ: оба утверждения доказаны.
\((n + 1)^2 − n^2 = ((n + 1) − n)((n + 1) + n) = n + (n + 1)\).
Получили сумму этих чисел.2) Пусть 2n и 2n + 2 — последовательные чётные натуральные числа. Тогда:
\((2n + 2)^2 − (2n)^2 = 2(4n + 2) = 4(2n + 1)\).
Полученное выражение делится на 4.Ответ: оба утверждения доказаны.
Кратко 1) Для последовательных натуральных чисел n и n + 1:
\((n + 1)^2 − n^2 = ((n + 1) − n)((n + 1) + n) = n + (n + 1)\).2) Для последовательных чётных чисел 2n и 2n + 2:
\((2n + 2)^2 − (2n)^2 = 2(4n + 2) = 4(2n + 1)\), поэтому разность делится на 4.Ответ: оба утверждения доказаны.
1) Построим квадрат со стороной n + 1 и удалим из него квадрат со стороной n. Оставшуюся Г-образную часть можно разделить на два прямоугольника со сторонами \(1\) и \(n\), а также \(1\) и \(n + 1\). Поэтому её площадь равна \(n + (n + 1)\). Но эта же площадь равна \((n + 1)^2 - n^2\). Следовательно, разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна их сумме.2) Пусть стороны двух квадратов равны 2n и 2n + 2. После удаления меньшего квадрата оставшуюся Г-образную часть разделим на прямоугольники со сторонами 2 и 2n, а также 2 и 2n + 2. Их общая площадь равна
\(2 \cdot 2n + 2 \cdot (2n + 2) = 4n + 4n + 4 = 4(2n + 1)\).
Значит, разность площадей квадратов, то есть разность квадратов двух последовательных чётных чисел, делится нацело на 4.
\(2 \cdot 2n + 2 \cdot (2n + 2) = 4n + 4n + 4 = 4(2n + 1)\).
Значит, разность площадей квадратов, то есть разность квадратов двух последовательных чётных чисел, делится нацело на 4.
Решение #4(Учебник 2021)
Решение #5(Учебник 2021)
Решение #6 (Учебник 2021)ИИ
Варианты решения:
Можно ли разбить числа на три группы?С пояснением
1) Среди чисел от 1 до 32 только одно делится на 17 — само число 17.
2) Произведение группы, содержащей 17, делится на 17. Но произведения двух остальных групп не делятся на 17, так как в них нет чисел, кратных 17.
Значит, все три произведения не могут быть равны.
Ответ: нет, нельзя.
Кратко Число 17 — единственное среди данных чисел, которое делится на 17. Поэтому произведение группы с числом 17 делится на 17, а произведения остальных групп — нет.
Ответ: нельзя.
2) Произведение группы, содержащей 17, делится на 17. Но произведения двух остальных групп не делятся на 17, так как в них нет чисел, кратных 17.
Значит, все три произведения не могут быть равны.
Ответ: нет, нельзя.
Кратко Число 17 — единственное среди данных чисел, которое делится на 17. Поэтому произведение группы с числом 17 делится на 17, а произведения остальных групп — нет.
Ответ: нельзя.
Пусть произведение чисел в каждой группе равно \(P\). Тогда произведение всех чисел от 1 до 32 должно равняться \(P^3\).Посчитаем, сколько множителей 2 содержится в произведении 1·2·...·32. По одному множителю 2 дают 16 чётных чисел, ещё по одному — 8 чисел, кратных 4, затем 4 числа, кратных 8, 2 числа, кратных 16, и ещё один множитель даёт число 32. Всего получаем
\(16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31\)
множитель 2.Но в кубе натурального числа количество одинаковых простых множителей должно делиться на 3, а 31 на 3 не делится. Значит, произведение всех чисел от 1 до 32 не является кубом.Ответ: нет, нельзя.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что:
1) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел;
2) разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится нацело на 4.
Задание учебника 2021 года
Можно ли натуральные числа от 1 до 32 разбить на три группы так, чтобы произведения чисел каждой группы были равны?
