Упр.1400 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2025)
Решение #3 (Учебник 2025)ИИ
Варианты решения:
Докажите отсутствие корней уравненийС пояснением
1) \(x^2 − 8x + 18 = (x − 4)^2 + 2\). Квадрат неотрицателен, поэтому \((x − 4)^2 + 2 ≥ 2 > 0\). Значит, первое уравнение не имеет корней.
2) \(x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + 3/4\). Поскольку квадрат неотрицателен, \((x + 1/2)^2 + 3/4 ≥ 3/4 > 0\). Значит, второе уравнение тоже не имеет корней.
Ответ: оба уравнения не имеют корней.
Кратко \(x^2 − 8x + 18 = (x − 4)^2 + 2 > 0\);
\(x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + 3/4 > 0\).
Оба выражения положительны при любом x.
Ответ: оба уравнения не имеют корней.
2) \(x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + 3/4\). Поскольку квадрат неотрицателен, \((x + 1/2)^2 + 3/4 ≥ 3/4 > 0\). Значит, второе уравнение тоже не имеет корней.
Ответ: оба уравнения не имеют корней.
Кратко \(x^2 − 8x + 18 = (x − 4)^2 + 2 > 0\);
\(x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + 3/4 > 0\).
Оба выражения положительны при любом x.
Ответ: оба уравнения не имеют корней.
Для первого выражения рассмотрим несколько случаев.Если \(x \le 3\) или \(x \ge 5\), то
\(x^2 - 8x + 18 = (x - 3)(x - 5) + 3 > 0\),
поскольку \((x - 3)(x - 5) \ge 0\).Если \(3 < x \le 4\), то
\(x^2 - 8x + 18 = (4 - x)(5 - x) + (x - 2) > 0\):
оба слагаемых положительны или неотрицательны, причём x − 2 > 0.Если 4 < x < 5, то
\(x^2 - 8x + 18 = (x - 4)(x - 3) + (6 - x) > 0\).Следовательно, \(x^2 - 8x + 18\) положительно при любом \(x\), поэтому первое уравнение не имеет корней.Для второго выражения также рассмотрим случаи.Если \(x \ge 0\), то \(x^2 + x + 1 > 0\).Если x ≤ −1, то
\(x^2 + x + 1 = x(x + 1) + 1 > 0\),
так как \(x(x + 1) \ge 0\).Если −1 < x < 0, то
\(x^2 + x + 1 = x^2 + (x + 1) > 0\).Значит, \(x^2 + x + 1\) положительно при любом \(x\), поэтому второе уравнение также не имеет корней.Ответ: оба уравнения не имеют корней.
\(x^2 - 8x + 18 = (x - 3)(x - 5) + 3 > 0\),
поскольку \((x - 3)(x - 5) \ge 0\).Если \(3 < x \le 4\), то
\(x^2 - 8x + 18 = (4 - x)(5 - x) + (x - 2) > 0\):
оба слагаемых положительны или неотрицательны, причём x − 2 > 0.Если 4 < x < 5, то
\(x^2 - 8x + 18 = (x - 4)(x - 3) + (6 - x) > 0\).Следовательно, \(x^2 - 8x + 18\) положительно при любом \(x\), поэтому первое уравнение не имеет корней.Для второго выражения также рассмотрим случаи.Если \(x \ge 0\), то \(x^2 + x + 1 > 0\).Если x ≤ −1, то
\(x^2 + x + 1 = x(x + 1) + 1 > 0\),
так как \(x(x + 1) \ge 0\).Если −1 < x < 0, то
\(x^2 + x + 1 = x^2 + (x + 1) > 0\).Значит, \(x^2 + x + 1\) положительно при любом \(x\), поэтому второе уравнение также не имеет корней.Ответ: оба уравнения не имеют корней.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что не имеет корней уравнение:
1) х2-8х+ 18 = 0;
2) х2 + х + 1 = 0.
