Упр.1040 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3 (Учебник 2026)ИИ
Варианты решения:
Докажите тождество и найдите квадраты чиселС пояснением
1) По формуле квадрата суммы:
\((10n + 5)^2 = 100n^2 + 100n + 25 = 100n(n + 1) + 25\). Тождество доказано.2) Число, оканчивающееся цифрой 5, записывается как 10n + 5. По доказанному тождеству для возведения его в квадрат нужно число, стоящее перед цифрой 5, умножить на следующее натуральное число и справа приписать 25.3) Применим правило:
\(25^2\): \(2 \cdot 3 = 6\), получаем 625;
\(45^2\): \(4 \cdot 5 = 20\), получаем 2025;
\(75^2\): \(7 \cdot 8 = 56\), получаем 5625;
\(115^2\): \(11 \cdot 12 = 132\), получаем 13225.Ответ: \(25^2 = 625\); \(45^2 = 2025\); \(75^2 = 5625\); \(115^2 = 13225\).
Кратко \((10n + 5)^2 = 100n^2 + 100n + 25 = 100n(n + 1) + 25\).Правило: число перед цифрой 5 умножить на следующее натуральное число и справа приписать 25.\(25^2\): \(2 \cdot 3 = 6\), получаем 625;
\(45^2\): \(4 \cdot 5 = 20\), получаем 2025;
\(75^2\): \(7 \cdot 8 = 56\), получаем 5625;
\(115^2\): \(11 \cdot 12 = 132\), получаем 13225.Ответ: 625; 2025; 5625; 13225.
\((10n + 5)^2 = 100n^2 + 100n + 25 = 100n(n + 1) + 25\). Тождество доказано.2) Число, оканчивающееся цифрой 5, записывается как 10n + 5. По доказанному тождеству для возведения его в квадрат нужно число, стоящее перед цифрой 5, умножить на следующее натуральное число и справа приписать 25.3) Применим правило:
\(25^2\): \(2 \cdot 3 = 6\), получаем 625;
\(45^2\): \(4 \cdot 5 = 20\), получаем 2025;
\(75^2\): \(7 \cdot 8 = 56\), получаем 5625;
\(115^2\): \(11 \cdot 12 = 132\), получаем 13225.Ответ: \(25^2 = 625\); \(45^2 = 2025\); \(75^2 = 5625\); \(115^2 = 13225\).
Кратко \((10n + 5)^2 = 100n^2 + 100n + 25 = 100n(n + 1) + 25\).Правило: число перед цифрой 5 умножить на следующее натуральное число и справа приписать 25.\(25^2\): \(2 \cdot 3 = 6\), получаем 625;
\(45^2\): \(4 \cdot 5 = 20\), получаем 2025;
\(75^2\): \(7 \cdot 8 = 56\), получаем 5625;
\(115^2\): \(11 \cdot 12 = 132\), получаем 13225.Ответ: 625; 2025; 5625; 13225.
Рассмотрим квадрат со стороной 10n + 5. Разобьём его на квадрат со стороной 10n, две полосы размерами 10n × 5 и квадрат 5 × 5.Две полосы 10n × 5 можно объединить в одну полосу 10n × 10. Вместе с квадратом 10n × 10n она образует прямоугольник со сторонами 10n и 10n + 10. Поэтому площадь исходного квадрата равна
\(45^2\): \(4 \cdot 5 = 20\), значит \(45^2 = 2025\);
\(75^2\): \(7 \cdot 8 = 56\), значит \(75^2 = 5625\);
\(115^2\): \(11 \cdot 12 = 132\), значит \(115^2 = 13225\).Ответ: 625; 2025; 5625; 13225.
\[10n(10n + 10) + 5^2 = 100n(n + 1) + 25.\]
Следовательно,\[(10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25.\]
Правило: чтобы возвести в квадрат натуральное число, оканчивающееся цифрой 5, нужно число перед последней цифрой 5 умножить на следующее за ним натуральное число и справа приписать 25.\(25^2\): \(2 \cdot 3 = 6\), значит \(25^2 = 625\);\(45^2\): \(4 \cdot 5 = 20\), значит \(45^2 = 2025\);
\(75^2\): \(7 \cdot 8 = 56\), значит \(75^2 = 5625\);
\(115^2\): \(11 \cdot 12 = 132\), значит \(115^2 = 13225\).Ответ: 625; 2025; 5625; 13225.
Решение #4(Учебник 2019)
Решение #5(Учебник 2019)
Решение #6 (Учебник 2019)ИИ
Варианты решения:
Проверить равенство количеств, найти все пары, максимум и минимум тетрадейС пояснением
1) Совместно выполним задания а) и б). Пусть x — число тетрадей в линейку, y — число тетрадей в клетку. Тогда 10x + 15y = 320, или 2x + 3y = 64.
а) Если x = y, то 25x = 320, откуда x = 12,8. Число тетрадей должно быть целым, поэтому купить их поровну нельзя.
б) Из уравнения x = (64 − 3y) : 2. Число y должно быть положительным и чётным. При y = 2, 4, ..., 20 получаем все пары (x; y): (29; 2), (26; 4), (23; 6), (20; 8), (17; 10), (14; 12), (11; 14), (8; 16), (5; 18), (2; 20).
2) Распределим задания: первый ученик выполняет в), второй — г).
в) Суммы чисел в найденных парах: 31, 30, 29, ..., 22. Максимум — 31 тетрадь.
г) Минимум — 22 тетради.
3) Для взаимной проверки: при каждой следующей паре число тетрадей в линейку уменьшается на 3, а в клетку увеличивается на 2; стоимость при этом не меняется, а общее число уменьшается на 1. Крайние пары дают 31 и 22 тетради.
Ответ: а) нельзя; б) пары перечислены выше; в) 31 тетрадь; г) 22 тетради.
Кратко 1) Выполним а) и б) совместно. Пусть x — число тетрадей в линейку, y — в клетку. Тогда 10x + 15y = 320, или 2x + 3y = 64.
а) При x = y получаем 25x = 320, x = 12,8. Поровну купить нельзя.
б) x = (64 − 3y) : 2. Положительные чётные значения y от 2 до 20 дают пары (x; y): (29; 2), (26; 4), (23; 6), (20; 8), (17; 10), (14; 12), (11; 14), (8; 16), (5; 18), (2; 20).
2) Первый ученик выполняет в), второй — г). Суммы чисел в парах уменьшаются от 31 до 22.
3) Взаимная проверка: переход к следующей паре сохраняет стоимость и уменьшает общее число тетрадей на 1.
Ответ: а) нельзя; б) пары указаны выше; в) 31 тетрадь; г) 22 тетради.
а) Если x = y, то 25x = 320, откуда x = 12,8. Число тетрадей должно быть целым, поэтому купить их поровну нельзя.
б) Из уравнения x = (64 − 3y) : 2. Число y должно быть положительным и чётным. При y = 2, 4, ..., 20 получаем все пары (x; y): (29; 2), (26; 4), (23; 6), (20; 8), (17; 10), (14; 12), (11; 14), (8; 16), (5; 18), (2; 20).
2) Распределим задания: первый ученик выполняет в), второй — г).
в) Суммы чисел в найденных парах: 31, 30, 29, ..., 22. Максимум — 31 тетрадь.
г) Минимум — 22 тетради.
3) Для взаимной проверки: при каждой следующей паре число тетрадей в линейку уменьшается на 3, а в клетку увеличивается на 2; стоимость при этом не меняется, а общее число уменьшается на 1. Крайние пары дают 31 и 22 тетради.
Ответ: а) нельзя; б) пары перечислены выше; в) 31 тетрадь; г) 22 тетради.
Кратко 1) Выполним а) и б) совместно. Пусть x — число тетрадей в линейку, y — в клетку. Тогда 10x + 15y = 320, или 2x + 3y = 64.
а) При x = y получаем 25x = 320, x = 12,8. Поровну купить нельзя.
б) x = (64 − 3y) : 2. Положительные чётные значения y от 2 до 20 дают пары (x; y): (29; 2), (26; 4), (23; 6), (20; 8), (17; 10), (14; 12), (11; 14), (8; 16), (5; 18), (2; 20).
2) Первый ученик выполняет в), второй — г). Суммы чисел в парах уменьшаются от 31 до 22.
3) Взаимная проверка: переход к следующей паре сохраняет стоимость и уменьшает общее число тетрадей на 1.
Ответ: а) нельзя; б) пары указаны выше; в) 31 тетрадь; г) 22 тетради.
а) Если тетрадей каждого вида поровну, их можно объединить в пары. Одна такая пара стоит \(10 + 15 = 25\) р. Но 320 не делится на 25, поэтому купить одинаковое количество тетрадей двух видов нельзя.б) Разделим все цены и общую стоимость на 5. Тогда тетрадь в линейку стоит 2 условные единицы, тетрадь в клетку — 3 единицы, а вся покупка — 64 единицы.Пусть всего купили n тетрадей. Если бы все они были в линейку, покупка стоила бы 2n единиц. Замена одной тетради в линейку на тетрадь в клетку увеличивает стоимость на 1 единицу. Поэтому число тетрадей в клетку равно 64 − 2n, а число тетрадей в линейку равно
\(n - (64 - 2n) = 3n - 64\).Оба числа должны быть положительными:
\(64 - 2n > 0\), значит \(n \le 31\);
\(3n - 64 > 0\), значит \(n \ge 22\).Следовательно, n может принимать все целые значения от 22 до 31. Получаем пары (тетради в линейку; тетради в клетку):
(2; 20), (5; 18), (8; 16), (11; 14), (14; 12), (17; 10), (20; 8), (23; 6), (26; 4), (29; 2).в) Наибольшее возможное значение n равно 31. Максимально можно купить 31 тетрадь.г) Наименьшее возможное значение n равно 22. Минимально можно купить 22 тетради.Ответ: а) нельзя; б) (2; 20), (5; 18), (8; 16), (11; 14), (14; 12), (17; 10), (20; 8), (23; 6), (26; 4), (29; 2); в) 31 тетрадь; г) 22 тетради.
\(n - (64 - 2n) = 3n - 64\).Оба числа должны быть положительными:
\(64 - 2n > 0\), значит \(n \le 31\);
\(3n - 64 > 0\), значит \(n \ge 22\).Следовательно, n может принимать все целые значения от 22 до 31. Получаем пары (тетради в линейку; тетради в клетку):
(2; 20), (5; 18), (8; 16), (11; 14), (14; 12), (17; 10), (20; 8), (23; 6), (26; 4), (29; 2).в) Наибольшее возможное значение n равно 31. Максимально можно купить 31 тетрадь.г) Наименьшее возможное значение n равно 22. Минимально можно купить 22 тетради.Ответ: а) нельзя; б) (2; 20), (5; 18), (8; 16), (11; 14), (14; 12), (17; 10), (20; 8), (23; 6), (26; 4), (29; 2); в) 31 тетрадь; г) 22 тетради.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Докажите тождество (10n + 5)2 = 100n (n + 1) + 25.
Используя это тождество, сформулируйте правило возведения в квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5. Найдите по этому правилу 25^2, 45^2, 75^2, 115^2.
Задание учебника 2019 года
(Для работы в парах.) Купили тетради в линейку по 10 р. за каждую и тетради в клетку по 15 р. за каждую, затратив на всю покупку 320 р.
а) Выясните, можно ли при указанном условии купить одинаковое количество тетрадей в линейку и тетрадей в клетку.
б) Укажите все возможные пары, которые можно составить из числа тетрадей в линейку и числа тетрадей в клетку при указанном условии.
в) Найдите максимальное количество тетрадей, которые можно купить при указанном условии.
г) Найдите минимальное количество тетрадей, которые можно купить при указанном условии.
1) Выполните совместно задания а) и б).
2) Распределите, кто выполняет задание в), а кто — задание г), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.
Пусть тетрадей в линейку куплено x штук, а тетрадей в клетку куплено y штук.
Тогда на тетради в линейку потрачено 10x руб, а на тетради в клетку потрачено 15y руб.
Известно, что всего потрачено 320 рублей.
Составим и решим уравнение.
15x+10y=320
10y=320-15x
y=(320-15x)/10=32-1,5x
а) Предположим, что это возможно. Если будет одинаковое количество тетрадей в линейку и в клетку, то x=y, тогда:
y=32-1,5x
x=32-1,5x
2,5x=32
x=32:2,5
x=12,8
Так как количество тетрадей должно быть целым числом, то при указанном условии купить одинаковое число тетрадей в клетку и в линейку невозможно.
б) Найдём методом подбора все возможные пары (x – чётное число, иначе y будет нецелым числом).
Возможные пары решений:
x=2: y=32-1,5•2=32-3=29;
x=4: y=32-1,5•4=32-6=26;
x=6: y=32-1,5•6=32-9=23;
x=8: y=32-1,5•8=32-12=20;
x=10: y=32-1,5•10=32-15=17;
x=12: y=32-1,5•12=32-18=14;
x=14: y=32-1,5•14=32-21=11;
x=16: y=32-1,5•16=32-24=8;
x=18: y=32-1,5•18=32-27=5;
x=20: y=32-1,5•20=32-30=2.
Далее идёт отрицательное значение.
в) Максимальное количество тетрадей можно купить при условии x=2, y=29.
Количество купленных тетрадей составит: 2+29=31 тетрадь.
г) Минимальное количество тетрадей можно купить при условии x=20, y=2.
Количество купленных тетрадей составит: 20+2=22 тетради.
