Упр.7.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Докажите тригонометрические тождестваС пояснением
а) При sin t ≠ 1 используем \(\cos^2 t = 1 - \sin^2 t\) и разложим разность квадратов:
Кратко а) При sin t ≠ 1:
\[\frac{\cos^2 t}{1 - \sin t} - \sin t = \frac{(1 - \sin t)(1 + \sin t)}{1 - \sin t} - \sin t = 1.\]
б) При cos t ≠ −1 используем \(\sin^2 t = 1 - \cos^2 t\):\[\frac{\sin^2 t}{1 + \cos t} + \cos t = \frac{(1 - \cos t)(1 + \cos t)}{1 + \cos t} + \cos t = 1.\]
Ответ: оба тождества доказаны на областях их определения.Кратко а) При sin t ≠ 1:
\[\frac{\cos^2 t}{1 - \sin t} - \sin t = \frac{1 - \sin^2 t}{1 - \sin t} - \sin t = 1 + \sin t - \sin t = 1.\]
б) При cos t ≠ −1:\[\frac{\sin^2 t}{1 + \cos t} + \cos t = \frac{1 - \cos^2 t}{1 + \cos t} + \cos t = 1 - \cos t + \cos t = 1.\]
Ответ: тождества доказаны.а) При \(\sin t\ne1\):
\[
1-\sin t=\left(\cos\frac t2-\sin\frac t2\right)^2,
\]
\[
\cos t=\left(\cos\frac t2-\sin\frac t2\right)\left(\cos\frac t2+\sin\frac t2\right).
\]
Поэтому\[
\frac{\cos^2t}{1-\sin t}=\left(\cos\frac t2+\sin\frac t2\right)^2=1+\sin t.
\]
Следовательно,\[
\frac{\cos^2t}{1-\sin t}-\sin t=1.
\]
б) При \(\cos t\ne-1\) имеем \(\cos\frac t2\ne0\). По формулам половинного угла\[
\sin t=2\sin\frac t2\cos\frac t2,\qquad 1+\cos t=2\cos^2\frac t2.
\]
Тогда\[
\frac{\sin^2t}{1+\cos t}
=\frac{4\sin^2\frac t2\cos^2\frac t2}{2\cos^2\frac t2}
=2\sin^2\frac t2
=1-\cos t.
\]
Следовательно,\[
\frac{\sin^2t}{1+\cos t}+\cos t=1.
\]
Оба тождества доказаны на их областях определения.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Докажите тождество:
a) cos^2(t) / (1 - sin t) - sin t = 1;
6) sin^2(t) / (1 + cos t) + cos t = 1.
