Упр.49.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найдите массу неоднородного стержняС пояснением
Масса стержня находится по формуле m = ∫₀ˡ ρ(x) dx.а) \(m=\int_0^6 (x^2-x+1)\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+x\right]_0^6=72-18+6=60\).б) \(m=\int_0^3 \dfrac{dx}{(x+3)^2}=\left[-\dfrac{1}{x+3}\right]_0^3=-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\).в) \(m=\int_0^2 (-x^2+6x)\,dx=\left[-\dfrac{x^3}{3}+3x^2\right]_0^2=-\dfrac{8}{3}+12=\dfrac{28}{3}\).г) \(m=\int_0^1 \dfrac{dx}{(2x+1)^2}=\left[-\dfrac{1}{2(2x+1)}\right]_0^1=-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\).Ответ: а) 60; б) 1/6; в) 28/3; г) 1/3.
Кратко m = ∫₀ˡ ρ(x) dx.а) \(\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+x\right]_0^6=60\);
б) \(\left[-\dfrac{1}{x+3}\right]_0^3=\dfrac{1}{6}\);
в) \(\left[-\dfrac{x^3}{3}+3x^2\right]_0^2=\dfrac{28}{3}\);
г) \(\left[-\dfrac{1}{2(2x+1)}\right]_0^1=\dfrac{1}{3}\).Ответ: а) 60; б) 1/6; в) 28/3; г) 1/3.
Кратко m = ∫₀ˡ ρ(x) dx.а) \(\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+x\right]_0^6=60\);
б) \(\left[-\dfrac{1}{x+3}\right]_0^3=\dfrac{1}{6}\);
в) \(\left[-\dfrac{x^3}{3}+3x^2\right]_0^2=\dfrac{28}{3}\);
г) \(\left[-\dfrac{1}{2(2x+1)}\right]_0^1=\dfrac{1}{3}\).Ответ: а) 60; б) 1/6; в) 28/3; г) 1/3.
Разобьём стержень на n равных частей и составим правые интегральные суммы.а) \(\Delta x=\dfrac{6}{n}\), \(x_k=\dfrac{6k}{n}\).m = limₙ→∞ (6/n)∑ₖ₌₁ⁿ[(6k/n)² − 6k/n + 1]
= limₙ→∞ (n/3)∑ₖ₌₁ⁿ 1/(n+k)².Для \(j=n+k\) верно
\(1/[j(j+1)] < 1/j^2 < 1/[(j-1)j]\).
Поэтому(n/3)[1/(n+1) − 1/(2n+1)] < (n/3)∑ⱼ₌ₙ₊₁²ⁿ 1/j² < (n/3)[1/n − 1/(2n)].Обе крайние части стремятся к \(1/6\), следовательно, \(m = 1/6\).в) \(\Delta x=\dfrac{2}{n}\), \(x_k=\dfrac{2k}{n}\).m = limₙ→∞ (2/n)∑ₖ₌₁ⁿ[−(2k/n)² + 6·2k/n]
= limₙ→∞ n∑ₖ₌₁ⁿ 1/(n+2k)².Для \(j=n+2k\) верно
\(1/[j(j+2)] < 1/j^2 < 1/[(j-2)j]\).
После суммирования получаемn/2[1/(n+2) − 1/(3n+2)] < n∑ₖ₌₁ⁿ 1/(n+2k)² < n/2[1/n − 1/(3n)].Обе крайние части стремятся к \(1/3\), поэтому \(m = 1/3\).Ответ: а) 60; б) 1/6; в) 28/3; г) 1/3.
\[=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{216}{n^3}\cdot\sum k^2-\frac{36}{n^2}\cdot\sum k+6\right].\]
Используя \(\sum k=\dfrac{n(n+1)}{2}\) и \(\sum k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\), получаем\(m=72-18+6=60\).б) \(\Delta x=\dfrac{3}{n}\), \(x_k=\dfrac{3k}{n}\).m = limₙ→∞ (3/n)∑ₖ₌₁ⁿ 1/(3 + 3k/n)²= limₙ→∞ (n/3)∑ₖ₌₁ⁿ 1/(n+k)².Для \(j=n+k\) верно
\(1/[j(j+1)] < 1/j^2 < 1/[(j-1)j]\).
Поэтому(n/3)[1/(n+1) − 1/(2n+1)] < (n/3)∑ⱼ₌ₙ₊₁²ⁿ 1/j² < (n/3)[1/n − 1/(2n)].Обе крайние части стремятся к \(1/6\), следовательно, \(m = 1/6\).в) \(\Delta x=\dfrac{2}{n}\), \(x_k=\dfrac{2k}{n}\).m = limₙ→∞ (2/n)∑ₖ₌₁ⁿ[−(2k/n)² + 6·2k/n]
\[=\lim_{n\to\infty}\left[-\frac{8}{n^3}\cdot\sum k^2+\frac{24}{n^2}\cdot\sum k\right]\]
\[=-\frac{8}{3}+12=\frac{28}{3}.\]
г) \(\Delta x=\dfrac{1}{n}\), \(x_k=\dfrac{k}{n}\).m = limₙ→∞ (1/n)∑ₖ₌₁ⁿ 1/(2k/n + 1)²= limₙ→∞ n∑ₖ₌₁ⁿ 1/(n+2k)².Для \(j=n+2k\) верно
\(1/[j(j+2)] < 1/j^2 < 1/[(j-2)j]\).
После суммирования получаемn/2[1/(n+2) − 1/(3n+2)] < n∑ₖ₌₁ⁿ 1/(n+2k)² < n/2[1/n − 1/(3n)].Обе крайние части стремятся к \(1/3\), поэтому \(m = 1/3\).Ответ: а) 60; б) 1/6; в) 28/3; г) 1/3.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Дан прямолинейный стержень длиной l. Он неоднороден, и его
плотность в точке, удалённой от левого конца на х, 0 < = х < = l,
определяется по формуле р = р(х). Найдите массу стержня, если:
а) р(х) = х^2 - х + 1, l = 6;
б) p(x) = 1 / (x + 3)^2, l = 3;
в) р(х) = -х^2 + 6x, l = 2;
г) р(х) = 1 / (2х +1)^2, l = 1.
