Упр.38.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Исследуйте функции на ограниченностьС пояснением
а) \(y=x^8,\ x\in\mathbb{R}\). Для всех x имеем \(y\geq 0\). При увеличении \(|x|\) значения \(x^8\) неограниченно растут. Значит, функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.б) \(y = x^{-3/4} = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}\), \(x > 0\). Все её значения положительны, а при приближении \(x\) к нулю справа они неограниченно растут. Значит, функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.в) \(y = x^{-5} = \frac{1}{x^5}\), \(x \ne 0\). При приближении \(x\) к нулю справа значения функции неограниченно растут, а слева — неограниченно убывают. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.г) \(y=x^{2/5}=(\sqrt[5]{x})^2,\ x\in\mathbb{R}\). Для всех x имеем \(y\geq 0\). При увеличении |x| значения функции неограниченно растут. Значит, функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.Ответ: а), б), г) ограничены только снизу; в) не ограничена ни сверху, ни снизу.
Кратко
Кратко
а) x⁸ ≥ 0; при |x| → ∞ значения неограниченно растут. б) x^(−3/4) > 0 при x > 0; при x → 0+ значения неограниченно растут. в) x⁻⁵ при x → 0+ неограниченно растёт, а при x → 0− неограниченно убывает. г) x^(2/5) = (⁵√x)² ≥ 0; при |x| → ∞ значения неограниченно растут.Ответ: а), б), г) ограничены снизу, но не сверху; в) не ограничена ни сверху, ни снизу.
а) Область определения: ℝ. Так как \(x^8 \ge 0\), отрицательных значений функция не принимает. При этом для любого \(y \ge 0\) можно взять \(x = \sqrt[8]{y}\), тогда \(x^8 = y\). Следовательно, область значений — [0; +∞). Функция ограничена снизу числом 0 и не ограничена сверху.б) Область определения: \(x > 0\). Имеем \(y = x^{-3/4} > 0\). Для любого \(y > 0\) существует \(x = y^{-4/3} > 0\), при котором \(x^{-\frac{3}{4}} = y\). Поэтому область значений — (0; +∞). Функция ограничена снизу числом 0 и не ограничена сверху.в) Область определения: \(x \ne 0\). Значение \(y = \dfrac{1}{x^5}\) не может быть равно нулю. Обратно, для любого \(y \ne 0\) можно взять \(x = \sqrt[5]{\dfrac{1}{y}}\), тогда \(\dfrac{1}{x^5} = y\). Значит, область значений — \((−\infty; 0) \cup (0; +\infty)\). Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.г) Область определения: ℝ. Поскольку \(x^{\frac{2}{5}} = (\sqrt[5]{x})^2 \ge 0\), отрицательных значений нет. Для любого \(y \ge 0\) возьмём \(x = (\sqrt{y})^5\). Тогда \((\sqrt[5]{x})^2 = y\). Следовательно, область значений — [0; +∞). Функция ограничена снизу числом 0 и не ограничена сверху.Ответ: а), б), г) ограничены только снизу; в) не ограничена ни сверху, ни снизу.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Исследуйте степенную функцию на ограниченность:
а) у = х^8;
б) у = х^-3/4;
в) у = x^-5;
г) у = x^2/5.
