Упр.525 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3(Учебник 2026)
Решение #4(Учебник 2024)
Решение #5(Учебник 2024)
Решение #6(Учебник 2024)
Решение #7 (Учебник 2024)ИИ
Варианты решения:
Определить число решений системы при разных rС пояснением
Подставим \(y=-x^2+4\) в первое уравнение и обозначим \(t=x^2\), где \(t\geq 0\):
Если \(r = \sqrt{15}/2\), то \(t = 7/2\). Это положительное значение даёт два значения x и два решения системы.
Если \(\sqrt{15}/2 < r < 4\), то оба корня \(t = (7 ± \sqrt{4r^2 − 15})/2\) положительны. Каждый из них даёт по два значения x, всего четыре решения.
Если r = 4, то корни t равны 0 и 7. Они дают соответственно одно и два значения x, всего три решения.
Если r > 4, то один корень t положителен, а другой отрицателен. Подходит только положительный корень, поэтому решений два.Ответ: система может иметь 0, 2, 3 или 4 решения.
Кратко Пусть \(t=x^2\geq 0\). После подстановки получаем:
при \(r = \sqrt{15}/2\) — 2 решения;
при \(\sqrt{15}/2 < r < 4\) — 4 решения;
при r = 4 — 3 решения;
при r > 4 — 2 решения.Ответ: 0, 2, 3 или 4 решения.
\[t+(4-t)^2=r^2,\]
\[t^2-7t+16-r^2=0.\]
Дискриминант этого уравнения \(D = 4r^2 − 15\).Если \(0 < r < \sqrt{15}/2\), то \(D < 0\) и решений нет.Если \(r = \sqrt{15}/2\), то \(t = 7/2\). Это положительное значение даёт два значения x и два решения системы.
Если \(\sqrt{15}/2 < r < 4\), то оба корня \(t = (7 ± \sqrt{4r^2 − 15})/2\) положительны. Каждый из них даёт по два значения x, всего четыре решения.
Если r = 4, то корни t равны 0 и 7. Они дают соответственно одно и два значения x, всего три решения.
Если r > 4, то один корень t положителен, а другой отрицателен. Подходит только положительный корень, поэтому решений два.Ответ: система может иметь 0, 2, 3 или 4 решения.
Кратко Пусть \(t=x^2\geq 0\). После подстановки получаем:
\[t^2-7t+16-r^2=0,\]
\[D=4r^2-15.\]
При \(0 < r < \sqrt{15}/2\) решений нет;при \(r = \sqrt{15}/2\) — 2 решения;
при \(\sqrt{15}/2 < r < 4\) — 4 решения;
при r = 4 — 3 решения;
при r > 4 — 2 решения.Ответ: 0, 2, 3 или 4 решения.
Точки системы — это точки пересечения параболы \(y = 4 - x^2\) с окружностью радиуса r и центром в начале координат.Для точки параболы квадрат расстояния до начала координат равен
при \(0 < r < \frac{\sqrt{15}}{2}\) пересечений нет;
при \(r = \dfrac{\sqrt{15}}{2}\) окружность касается параболы в двух симметричных точках;
при \(\frac{\sqrt{15}}{2} < r < 4\) на каждой половине параболы находятся по две точки пересечения, всего 4;
при \(r = 4\) получаются вершина параболы и ещё две симметричные точки, всего 3;
при \(r > 4\) на каждой половине параболы находится по одной точке, всего 2.Ответ: система может иметь 0, 2, 3 или 4 решения.
\[\rho^2 = x^2 + y^2 = x^2 + (4 - x^2)^2 = \left(x^2 - \frac{7}{2}\right)^2 + \frac{15}{4}.\]
При \(x \ge 0\) расстояние сначала убывает: от \(\rho = 4\) при \(x = 0\) до наименьшего значения \(\rho = \dfrac{\sqrt{15}}{2}\) при \(x^2 = \dfrac{7}{2}\). Затем оно неограниченно возрастает. Парабола симметрична относительно оси Oy.Поэтому:при \(0 < r < \frac{\sqrt{15}}{2}\) пересечений нет;
при \(r = \dfrac{\sqrt{15}}{2}\) окружность касается параболы в двух симметричных точках;
при \(\frac{\sqrt{15}}{2} < r < 4\) на каждой половине параболы находятся по две точки пересечения, всего 4;
при \(r = 4\) получаются вершина параболы и ещё две симметричные точки, всего 3;
при \(r > 4\) на каждой половине параболы находится по одной точке, всего 2.Ответ: система может иметь 0, 2, 3 или 4 решения.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Выпишите первые несколько членов последовательности натуральных чисел, кратных 3, взятых в порядке возрастания. Укажите первый, пятый, десятый, сотый и n-й члены этой последовательности.
Задание учебника 2024 года
Сколько решений может иметь система уравнений
система
х2 + у2 = r2,
У = -x2 + 4, где r — положительное число?
