№26 ГДЗ Рымкевич 10-11 класс (Физика)
Решение #1
Решение #2
Решение #3
Решение #4ИИ
Варианты решения:
Уравнение движения автомобиля:
\[x_a = 20t\].
Уравнение движения велосипедиста:
\[x_v = 250 - 5t\],
где координата измеряется в метрах, время — в секундах.
Графики представляют собой прямые. График автомобиля проходит через точки \((0; 0),\ (5; 100),\ (10; 200)\), а график велосипедиста — через точки \((0; 250),\ (5; 225),\ (10; 200)\). Точка пересечения графиков соответствует встрече.
а) В момент встречи координаты тел равны:
\[\begin{aligned}20t &= 250 - 5t,\\25t &= 250,\\t &= 10\text{ с}.\end{aligned}\].
Координата встречи:
\[x = 20 \cdot 10 = 200\text{ м}\].
Они встретятся через 10 с в точке \(x = 200\text{ м}\).
б) Автомобиль проходит точку \(x = 100\text{ м}\) в момент:
\[\begin{aligned}20t &= 100,\\t_a &= 5\text{ с}.\end{aligned}\].
Велосипедист проходит эту точку в момент:
\[\begin{aligned}250 - 5t &= 100,\\t_v &= 30\text{ с}.\end{aligned}\].
Автомобиль пройдет сотый метр раньше на:
\[30 - 5 = 25\text{ с}\].
в) Через 5 с:
\[\begin{aligned}x_a &= 20 \cdot 5 = 100\text{ м},\\x_v &= 250 - 5 \cdot 5 = 225\text{ м}.\end{aligned}\].
Расстояние между ними:
\[225 - 100 = 125\text{ м}\].
г) Велосипедист находился в точке \(x = 225\text{ м}\) при:
\[\begin{aligned}250 - 5t &= 225,\\t &= 5\text{ с}.\end{aligned}\].
В этот момент координата автомобиля:
\(x_a = 20 \cdot 5 = 100\text{ м}\).
д) Через 7,5 с автомобиль был в точке:
\[x_a = 20 \cdot 7{,}5 = 150\text{ м}\].
Велосипедист прошел эту точку при:
\[\begin{aligned}250 - 5t &= 150,\\t &= 20\text{ с}.\end{aligned}\].
е) Расстояние между телами выражается формулой:
\[l = \lvert x_v - x_a \rvert = \lvert 250 - 25t \rvert\].
При \(l = 125\text{ м}\):
\[\lvert 250 - 25t \rvert = 125\].
Отсюда:
\[250 - 25t = 125,\quad t = 5\text{ с}\];
\[250 - 25t = -125,\quad t = 15\text{ с}\].
Расстояние между ними было равно 125 м через 5 с и через 15 с.
ж) Пусть искомая точка имеет координату x. Автомобиль проходит её в момент:
\[t_a = \frac{x}{20}\].
Велосипедист проходит ту же точку в момент:
\[t_v = \frac{250 - x}{5}\].
По условию автомобиль проходит её на 12,5 с раньше:
\[\frac{250 - x}{5} - \frac{x}{20} = 12{,}5\].
Умножим уравнение на 20:
\[\begin{aligned}1000 - 4x - x &= 250,\\5x &= 750,\\x &= 150\text{ м}.\end{aligned}\].
Автомобиль прошел точку \(x = 150\text{ м}\) раньше велосипедиста на 12,5 с.
\[x_a = 20t\].
Уравнение движения велосипедиста:
\[x_v = 250 - 5t\],
где координата измеряется в метрах, время — в секундах.
Графики представляют собой прямые. График автомобиля проходит через точки \((0; 0),\ (5; 100),\ (10; 200)\), а график велосипедиста — через точки \((0; 250),\ (5; 225),\ (10; 200)\). Точка пересечения графиков соответствует встрече.
а) В момент встречи координаты тел равны:
\[\begin{aligned}20t &= 250 - 5t,\\25t &= 250,\\t &= 10\text{ с}.\end{aligned}\].
Координата встречи:
\[x = 20 \cdot 10 = 200\text{ м}\].
Они встретятся через 10 с в точке \(x = 200\text{ м}\).
б) Автомобиль проходит точку \(x = 100\text{ м}\) в момент:
\[\begin{aligned}20t &= 100,\\t_a &= 5\text{ с}.\end{aligned}\].
Велосипедист проходит эту точку в момент:
\[\begin{aligned}250 - 5t &= 100,\\t_v &= 30\text{ с}.\end{aligned}\].
Автомобиль пройдет сотый метр раньше на:
\[30 - 5 = 25\text{ с}\].
в) Через 5 с:
\[\begin{aligned}x_a &= 20 \cdot 5 = 100\text{ м},\\x_v &= 250 - 5 \cdot 5 = 225\text{ м}.\end{aligned}\].
Расстояние между ними:
\[225 - 100 = 125\text{ м}\].
г) Велосипедист находился в точке \(x = 225\text{ м}\) при:
\[\begin{aligned}250 - 5t &= 225,\\t &= 5\text{ с}.\end{aligned}\].
В этот момент координата автомобиля:
\(x_a = 20 \cdot 5 = 100\text{ м}\).
д) Через 7,5 с автомобиль был в точке:
\[x_a = 20 \cdot 7{,}5 = 150\text{ м}\].
Велосипедист прошел эту точку при:
\[\begin{aligned}250 - 5t &= 150,\\t &= 20\text{ с}.\end{aligned}\].
е) Расстояние между телами выражается формулой:
\[l = \lvert x_v - x_a \rvert = \lvert 250 - 25t \rvert\].
При \(l = 125\text{ м}\):
\[\lvert 250 - 25t \rvert = 125\].
Отсюда:
\[250 - 25t = 125,\quad t = 5\text{ с}\];
\[250 - 25t = -125,\quad t = 15\text{ с}\].
Расстояние между ними было равно 125 м через 5 с и через 15 с.
ж) Пусть искомая точка имеет координату x. Автомобиль проходит её в момент:
\[t_a = \frac{x}{20}\].
Велосипедист проходит ту же точку в момент:
\[t_v = \frac{250 - x}{5}\].
По условию автомобиль проходит её на 12,5 с раньше:
\[\frac{250 - x}{5} - \frac{x}{20} = 12{,}5\].
Умножим уравнение на 20:
\[\begin{aligned}1000 - 4x - x &= 250,\\5x &= 750,\\x &= 150\text{ м}.\end{aligned}\].
Автомобиль прошел точку \(x = 150\text{ м}\) раньше велосипедиста на 12,5 с.
В выбранной системе отсчёта автомобиль движется в положительном направлении оси X, а велосипедист — в отрицательном. Поэтому их координаты изменяются по законам:
\[
x_{\text{авт}}(t)=20t,\qquad x_{\text{вел}}(t)=250-5t.
\]
Здесь x выражено в метрах, t — в секундах.
Для построения графиков можно отметить точки:
— автомобиль: \((0; 0),\ (7{,}5; 150),\ (10; 200)\);
— велосипедист: \((0; 250),\ (10; 200),\ (20; 150)\).
Оба графика — прямые; график автомобиля возрастает, а график велосипедиста убывает.
а) Встреча происходит в точке пересечения графиков:
\[
20t=250-5t,\qquad 25t=250,\qquad t=10\ \text{с}.
\]
Координата места встречи:
\[
x=20\cdot 10=200\ \text{м}.
\]
б) Время прохождения точки x любым телом можно найти из уравнений:
\[
t_{\text{авт}}=\frac{x}{20},\qquad t_{\text{вел}}=\frac{250-x}{5}.
\]
Для точки \(x=100\ \text{м}\):
\[
t_{\text{авт}}=\frac{100}{20}=5\ \text{с},\qquad t_{\text{вел}}=\frac{250-100}{5}=30\ \text{с}.
\]
Автомобиль пройдёт сотый метр на \(30-5=25\ \text{с}\) раньше.
в) При \(t=5\ \text{с}\) координаты тел равны:
\[
x_{\text{авт}}=20\cdot 5=100\ \text{м},\qquad x_{\text{вел}}=250-5\cdot 5=225\ \text{м}.
\]
Следовательно, расстояние между ними составляет \(225-100=125\ \text{м}\).
г) Велосипедист достигает координаты 225 м через
\[
t=\frac{250-225}{5}=5\ \text{с}.
\]
За это время автомобиль доедет до точки
\[
x_{\text{авт}}=20\cdot 5=100\ \text{м}.
\]
д) Через 7,5 с автомобиль находится в точке
\[x=20\cdot 7{,}5=150\ \text{м}\].
Велосипедист проходит координату 150 м в момент
\[
t=\frac{250-150}{5}=20\ \text{с}.
\]
е) Расстояние между движущимися телами:
\[
S(t)=\left|x_{\text{вел}}-x_{\text{авт}}\right|=\left|250-25t\right|.
\]
Если \(S=125\ \text{м}\), то
\[
\left|250-25t\right|=125.
\]
Получаем два момента:
\[
t_1=5\ \text{с},\qquad t_2=15\ \text{с}.
\]
Первый раз такое расстояние было до встречи, второй — после неё.
ж) Для точки с координатой x разность моментов её прохождения равна 12,5 с:
\[\frac{250-x}{5}-\frac{x}{20}=12{,}5\].
После умножения на 20:
\[
1000-4x-x=250,\qquad 5x=750,\qquad x=150\ \text{м}.
\]
Искомая точка имеет координату 150 м. Автомобиль проходит её через 7,5 с, а велосипедист — через 20 с, то есть на 12,5 с позже.
\[
x_{\text{авт}}(t)=20t,\qquad x_{\text{вел}}(t)=250-5t.
\]
Здесь x выражено в метрах, t — в секундах.
Для построения графиков можно отметить точки:
— автомобиль: \((0; 0),\ (7{,}5; 150),\ (10; 200)\);
— велосипедист: \((0; 250),\ (10; 200),\ (20; 150)\).
Оба графика — прямые; график автомобиля возрастает, а график велосипедиста убывает.
а) Встреча происходит в точке пересечения графиков:
\[
20t=250-5t,\qquad 25t=250,\qquad t=10\ \text{с}.
\]
Координата места встречи:
\[
x=20\cdot 10=200\ \text{м}.
\]
б) Время прохождения точки x любым телом можно найти из уравнений:
\[
t_{\text{авт}}=\frac{x}{20},\qquad t_{\text{вел}}=\frac{250-x}{5}.
\]
Для точки \(x=100\ \text{м}\):
\[
t_{\text{авт}}=\frac{100}{20}=5\ \text{с},\qquad t_{\text{вел}}=\frac{250-100}{5}=30\ \text{с}.
\]
Автомобиль пройдёт сотый метр на \(30-5=25\ \text{с}\) раньше.
в) При \(t=5\ \text{с}\) координаты тел равны:
\[
x_{\text{авт}}=20\cdot 5=100\ \text{м},\qquad x_{\text{вел}}=250-5\cdot 5=225\ \text{м}.
\]
Следовательно, расстояние между ними составляет \(225-100=125\ \text{м}\).
г) Велосипедист достигает координаты 225 м через
\[
t=\frac{250-225}{5}=5\ \text{с}.
\]
За это время автомобиль доедет до точки
\[
x_{\text{авт}}=20\cdot 5=100\ \text{м}.
\]
д) Через 7,5 с автомобиль находится в точке
\[x=20\cdot 7{,}5=150\ \text{м}\].
Велосипедист проходит координату 150 м в момент
\[
t=\frac{250-150}{5}=20\ \text{с}.
\]
е) Расстояние между движущимися телами:
\[
S(t)=\left|x_{\text{вел}}-x_{\text{авт}}\right|=\left|250-25t\right|.
\]
Если \(S=125\ \text{м}\), то
\[
\left|250-25t\right|=125.
\]
Получаем два момента:
\[
t_1=5\ \text{с},\qquad t_2=15\ \text{с}.
\]
Первый раз такое расстояние было до встречи, второй — после неё.
ж) Для точки с координатой x разность моментов её прохождения равна 12,5 с:
\[\frac{250-x}{5}-\frac{x}{20}=12{,}5\].
После умножения на 20:
\[
1000-4x-x=250,\qquad 5x=750,\qquad x=150\ \text{м}.
\]
Искомая точка имеет координату 150 м. Автомобиль проходит её через 7,5 с, а велосипедист — через 20 с, то есть на 12,5 с позже.
Законы движения:
\(x_1 = 20t\) — автомобиль;
\(x_2 = 250 - 5t\) — велосипедист.
Координата x дана в метрах, время t — в секундах. Графики — прямые: первая проходит через (0; 0) и (10; 200), вторая — через (0; 250) и (10; 200).
а) Встреча:
\(20t = 250 - 5t\);
\(t = 10\,\text{с},\ x = 200\,\text{м}\).
б) Для точки x = 100 м:
\(t_1 = \frac{100}{20} = 5\,\text{с}\);
\(t_2 = \frac{250 - 100}{5} = 30\,\text{с}\).
Автомобиль пройдёт её на 25 с раньше.
в) При t = 5 с:
\(x_1 = 100\,\text{м},\ x_2 = 225\,\text{м}\);
\(S = 225 - 100 = 125\,\text{м}\).
г) Велосипедист проходит точку 225 м через 5 с. Автомобиль тогда находится в точке:
\(x_1 = 20 \cdot 5 = 100\,\text{м}\).
д) Через 7,5 с координата автомобиля равна:
\[x_1 = 20 \cdot 7{,}5 = 150\,\text{м}\].
Велосипедист проходит эту точку при:
\(250 - 5t = 150\);
\(t = 20\,\text{с}\).
е) Расстояние между телами:
\(S = \lvert 250 - 25t \rvert\).
Из условия \(\lvert 250 - 25t \rvert = 125\) получаем \(t = 5\,\text{с}\) и \(t = 15\,\text{с}\).
ж) Время прохождения точки x автомобилем равно x/20, велосипедистом — (250 − x)/5. Поэтому:
\[\frac{250 - x}{5} - \frac{x}{20} = 12{,}5\];
x = 150 м.
Искомая точка: x = 150 м.
\(x_1 = 20t\) — автомобиль;
\(x_2 = 250 - 5t\) — велосипедист.
Координата x дана в метрах, время t — в секундах. Графики — прямые: первая проходит через (0; 0) и (10; 200), вторая — через (0; 250) и (10; 200).
а) Встреча:
\(20t = 250 - 5t\);
\(t = 10\,\text{с},\ x = 200\,\text{м}\).
б) Для точки x = 100 м:
\(t_1 = \frac{100}{20} = 5\,\text{с}\);
\(t_2 = \frac{250 - 100}{5} = 30\,\text{с}\).
Автомобиль пройдёт её на 25 с раньше.
в) При t = 5 с:
\(x_1 = 100\,\text{м},\ x_2 = 225\,\text{м}\);
\(S = 225 - 100 = 125\,\text{м}\).
г) Велосипедист проходит точку 225 м через 5 с. Автомобиль тогда находится в точке:
\(x_1 = 20 \cdot 5 = 100\,\text{м}\).
д) Через 7,5 с координата автомобиля равна:
\[x_1 = 20 \cdot 7{,}5 = 150\,\text{м}\].
Велосипедист проходит эту точку при:
\(250 - 5t = 150\);
\(t = 20\,\text{с}\).
е) Расстояние между телами:
\(S = \lvert 250 - 25t \rvert\).
Из условия \(\lvert 250 - 25t \rvert = 125\) получаем \(t = 5\,\text{с}\) и \(t = 15\,\text{с}\).
ж) Время прохождения точки x автомобилем равно x/20, велосипедистом — (250 − x)/5. Поэтому:
\[\frac{250 - x}{5} - \frac{x}{20} = 12{,}5\];
x = 150 м.
Искомая точка: x = 150 м.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Рымкевич 10-11 класс, Просвещение:
Автомобиль и велосипедист движутся навстречу друг другу со скоростями соответственно 20 и 5 м/с. Расстояние между ними в начальный момент времени равно 250 м. Написать уравнения движения тел и построить графики зависимости х = x(t). Систему отсчета связать с землей. Считать, что положение автомобиля при t = 0 совпадает с началом отсчета, а ось X направлена в ту же сторону, что и скорость движения автомобиля.
Графически и аналитически определить: а) место и время их встречи; б) кто из них раньше пройдет сотый метр и на сколько раньше; в) расстояние между ними через 5 с; г) где находился автомобиль в тот момент, когда велосипедист проходил точку с координатой 225 м; д) когда велосипедист проходил точку, в которой автомобиль был через 7,5 с после начала движения; е) в какие моменты времени расстояние между ними было 125 м; ж) какую точку автомобиль прошел раньше велосипедиста на 12,5 с.
