Упр.851 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2025)
Решение #3 (Учебник 2025)ИИ
Варианты решения:
Найди время наполнения бассейна каждой трубойС пояснением
Пусть первая труба наполняет бассейн за x ч. Тогда второй требуется (x + 2) ч, а третьей — (x + 8) ч. За 1 ч они наполняют соответственно \(1/x\), \(1/(x + 2)\) и \(1/(x + 8)\) бассейна.
По условию производительность первой трубы равна сумме производительностей двух других:
\(1/x = 1/(x + 2) + 1/(x + 8)\).
Умножим обе части на x(x + 2)(x + 8):
\((x + 2)(x + 8) = x(x + 8) + x(x + 2)\);
\(x^2 + 10x + 16 = 2x^2 + 10x\);
\(x^2 = 16\).
Так как x > 0, получаем \(x = 4\). Второй трубе требуется 4 + 2 = 6 ч, третьей — 4 + 8 = 12 ч.
Ответ: 4 ч, 6 ч и 12 ч соответственно.
Кратко Пусть первая труба наполняет бассейн за x ч, тогда вторая — за (x + 2) ч, третья — за (x + 8) ч.
\(1/x = 1/(x + 2) + 1/(x + 8)\);
\((x + 2)(x + 8) = x(x + 8) + x(x + 2)\);
\(x^2 = 16\); \(x = 4\), так как \(x > 0\).
\(4 + 2 = 6\) (ч); \(4 + 8 = 12\) (ч).
Ответ: 4 ч, 6 ч и 12 ч соответственно.
По условию производительность первой трубы равна сумме производительностей двух других:
\(1/x = 1/(x + 2) + 1/(x + 8)\).
Умножим обе части на x(x + 2)(x + 8):
\((x + 2)(x + 8) = x(x + 8) + x(x + 2)\);
\(x^2 + 10x + 16 = 2x^2 + 10x\);
\(x^2 = 16\).
Так как x > 0, получаем \(x = 4\). Второй трубе требуется 4 + 2 = 6 ч, третьей — 4 + 8 = 12 ч.
Ответ: 4 ч, 6 ч и 12 ч соответственно.
Кратко Пусть первая труба наполняет бассейн за x ч, тогда вторая — за (x + 2) ч, третья — за (x + 8) ч.
\(1/x = 1/(x + 2) + 1/(x + 8)\);
\((x + 2)(x + 8) = x(x + 8) + x(x + 2)\);
\(x^2 = 16\); \(x = 4\), так как \(x > 0\).
\(4 + 2 = 6\) (ч); \(4 + 8 = 12\) (ч).
Ответ: 4 ч, 6 ч и 12 ч соответственно.
Обозначим производительности второй и третьей труб через u и v бассейнов в час. Тогда производительность первой трубы равна u + v.Пусть объём бассейна равен S. Разность времени наполнения второй и первой трубами составляет 2 ч:
\(\displaystyle \frac{S}{u}-\frac{S}{u+v}=2\),
\(\displaystyle \frac{Sv}{u(u+v)}=2\).Разность времени наполнения третьей и первой трубами составляет 8 ч:
\(\displaystyle \frac{S}{v}-\frac{S}{u+v}=8\),
\(\displaystyle \frac{Su}{v(u+v)}=8\).Разделим первое равенство на второе:
\(\displaystyle \frac{v^2}{u^2}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\).
Так как производительности положительны, \(\frac{v}{u}=\frac{1}{2}\), то есть \(u=2v\).Значит, производительности первой, второй и третьей труб относятся как 3v : 2v : v. Поэтому времена наполнения относятся обратно: \(\frac{1}{3}:\frac{1}{2}:1\).Пусть через третью трубу бассейн наполняется за t ч. Тогда через первую — за t/3 ч. По условию:
\(\displaystyle t-\frac{t}{3}=8\);
\(\displaystyle \frac{2t}{3}=8\);
\(t=12\).Следовательно, через первую трубу бассейн наполнится за 12 : 3 = 4 ч, через вторую — за 12 : 2 = 6 ч, через третью — за 12 ч.Ответ: первая труба — 4 ч, вторая — 6 ч, третья — 12 ч.
\(\displaystyle \frac{S}{u}-\frac{S}{u+v}=2\),
\(\displaystyle \frac{Sv}{u(u+v)}=2\).Разность времени наполнения третьей и первой трубами составляет 8 ч:
\(\displaystyle \frac{S}{v}-\frac{S}{u+v}=8\),
\(\displaystyle \frac{Su}{v(u+v)}=8\).Разделим первое равенство на второе:
\(\displaystyle \frac{v^2}{u^2}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\).
Так как производительности положительны, \(\frac{v}{u}=\frac{1}{2}\), то есть \(u=2v\).Значит, производительности первой, второй и третьей труб относятся как 3v : 2v : v. Поэтому времена наполнения относятся обратно: \(\frac{1}{3}:\frac{1}{2}:1\).Пусть через третью трубу бассейн наполняется за t ч. Тогда через первую — за t/3 ч. По условию:
\(\displaystyle t-\frac{t}{3}=8\);
\(\displaystyle \frac{2t}{3}=8\);
\(t=12\).Следовательно, через первую трубу бассейн наполнится за 12 : 3 = 4 ч, через вторую — за 12 : 2 = 6 ч, через третью — за 12 ч.Ответ: первая труба — 4 ч, вторая — 6 ч, третья — 12 ч.
Решение #4(Учебник 2019)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Для наполнения бассейна через первую трубу требуется столько же времени, сколько для наполнения через вторую и третью трубы одно временно. Через первую трубу бассейн наполняется на 2 ч быстрее, чем через вторую, и на 8 ч быстрее, чем через третью. Сколько времени требуется для наполнения бассейна через каждую трубу?
Задание учебника 2019 года
Докажите тождество:
1/((b-c)(c-a)) - 1/((a-b)(c-b)) + 1/((a-c)(b-a)) = 0.
