Упр.8.62 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение:
62. Докажите, что если sin альфа = sin бета, то либо aльфа = бета, либо альфа = 180° - бета.
Доказать: если sina=sinбета, то либо a=бета, либо a=180°-бета;
Доказательство:
I) Рассмотрим сначала случай, когда оба угла a и бета острые:
1) Допустим, что углы a и бета не равны, тогда один из них больше другого;
2) По теореме 7.5 при возрастании острого угла sina возоастает, значит:
либо sina < sinбета (если a < бета), либо sinбета < sin (если бета < a);
3) В любом случае возникает противоречие с условием задачи, значит
наше допущение неверно и углы a и бета равны;
II) Рассмотрим случай когда один из углов острый, а другой тупой
(например a<90° и бета>90°):
1) По свойству синуса любого угла от 0° до 180°:
sinбета=sin(180°-бета)=sina;
2) Так как угол бета тупой, то угол (180°-бета)-острый, а из равенства
sin(180°-бета)=sina, следует что a=180°-бета;
III) Рассмотрим случай когда оба угла тупые:
1) По свойству синуса любого угла от 0° до 180°:
sin(180°-a)=sina и sin(180°-бета)=sinбета;
2) По условию sin=sinбета, значит sin(180°-a)=sin(180°-бета);
3) Углы a и бета-тупые, значит углы (180°-a) и (180°-бета)-острые,
а так как их синусы равны, то и эти углы также равны, тогда:
180°-a=180°-бета, отсюда a=бета;
Таким образом, во всех случаях выполняется либо равенство a=бета,
либо равенство a=180°-бета, что и требовалось доказать.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
