Упр.8.61 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение:
61. Докажите, что если cos альфа = cos бета, то aльфа = бета.
Доказать: если cosa=cosбета, то a=бета;
Доказательство:
I) Рассмотрим сначала случай, когда оба угла a и бета острые:
1) Допустим, что углы a и бета не равны, тогда один из них больше другого;
2) По теореме 7.5 при возрастании острого угла cosa убывает, значит:
либо cosaбета), либо cosбетаa);
3) В любом случае возникает противоречие с условием задачи, значит
наше допущение неверно и углы a и бета равны;
II) Случай, когда острый только один из углов невозможен, так как из
тождества cos(180°-a)=-cosa следует, что острый и тупые углы
имеют противоположные знаки;
III) Рассмотрим случай когда оба угла тупые:
1) По свойству косинуса любого угла от 0° до 180°:
cos(180°-a)=-cosa и cos(180°-бета)=-cosбета;
2) По условию cosa=cosбета, значит cos(180°-a)=cos(180°-бета);
3) Углы a и бета-тупые, значит углы (180°-a) и (180°-бета)-острые,
а так как их косинусы равны, то и эти углы также равны, тогда:
180°-a=180°-бета, отсюда a=бета, что и требовалось доказать.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
