Упр.38.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Провести касательные через заданные точкиС пояснением
Пусть касательная касается графика при x = a. Её уравнение: \(y = f(a) + f'(a)(x - a)\).а) При a > 0 имеем \(f'(a) = \frac{1}{2\sqrt{a}}\), поэтому \(y = \frac{x}{2\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{2}\). Касательная проходит через \(M(0; 1)\), значит \(\frac{\sqrt{a}}{2} = 1\). Отсюда \(a = 4\), точка касания \((4; 2)\), уравнение касательной \(y = x/4 + 1\).
В начале графика есть также вертикальная касательная \(x = 0\): угловой коэффициент секущей, соединяющей \((0; 0)\) и \((x; \sqrt{x})\), равен \(1/\sqrt{x}\) и неограниченно возрастает при \(x \to 0+\). Она тоже проходит через \(M\).б) \(f′(a) = \frac{3\sqrt{a}}{2}\), поэтому \(y = \frac{3\sqrt{a}\cdot x}{2} + 4 − \frac{a\sqrt{a}}{2}\). Так как касательная проходит через \(M(0; 0)\), получаем \(a\sqrt{a} = 8\), откуда a = 4. Точка касания (4; 12), уравнение касательной y = 3x.Ответ: а) \(y = x/4 + 1\) и x = 0; б) y = 3x.
Кратко а) При \(x = a > 0\) касательная имеет вид \(y = \frac{x}{2\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{2}\). Из условия \(\frac{\sqrt{a}}{2} = 1\) получаем \(a = 4\), значит \(y = \frac{x}{4} + 1\). В точке \((0; 0)\) также есть вертикальная касательная \(x = 0\), проходящая через \(M\).б) Касательная имеет вид \(y = \frac{3\sqrt{a}\cdot x}{2} + 4 - \frac{a\sqrt{a}}{2}\). Из условия \(4 - \frac{a\sqrt{a}}{2} = 0\) получаем \(a = 4\), значит \(y = 3x\).Ответ: а) \(y = x/4 + 1\) и x = 0; б) y = 3x.
В начале графика есть также вертикальная касательная \(x = 0\): угловой коэффициент секущей, соединяющей \((0; 0)\) и \((x; \sqrt{x})\), равен \(1/\sqrt{x}\) и неограниченно возрастает при \(x \to 0+\). Она тоже проходит через \(M\).б) \(f′(a) = \frac{3\sqrt{a}}{2}\), поэтому \(y = \frac{3\sqrt{a}\cdot x}{2} + 4 − \frac{a\sqrt{a}}{2}\). Так как касательная проходит через \(M(0; 0)\), получаем \(a\sqrt{a} = 8\), откуда a = 4. Точка касания (4; 12), уравнение касательной y = 3x.Ответ: а) \(y = x/4 + 1\) и x = 0; б) y = 3x.
Кратко а) При \(x = a > 0\) касательная имеет вид \(y = \frac{x}{2\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{2}\). Из условия \(\frac{\sqrt{a}}{2} = 1\) получаем \(a = 4\), значит \(y = \frac{x}{4} + 1\). В точке \((0; 0)\) также есть вертикальная касательная \(x = 0\), проходящая через \(M\).б) Касательная имеет вид \(y = \frac{3\sqrt{a}\cdot x}{2} + 4 - \frac{a\sqrt{a}}{2}\). Из условия \(4 - \frac{a\sqrt{a}}{2} = 0\) получаем \(a = 4\), значит \(y = 3x\).Ответ: а) \(y = x/4 + 1\) и x = 0; б) y = 3x.
а) Положим \(t = \sqrt{x}\), тогда \(x = t^2\), \(y = t\), где \(t \ge 0\). Невертикальная прямая через M(0; 1) имеет вид \(y = kx + 1\). Точки её пересечения с графиком задаются уравнением
\[kt^2 - t + 1 = 0.\]
Для касания это уравнение должно иметь двойной корень, поэтому\[D = 1 - 4k = 0,\]
откуда \(k = \dfrac{1}{4}\). Тогда \(t = 2\), \(x = 4\), \(y = 2\), а касательная имеет уравнение\[y = \frac{x}{4} + 1.\]
Кроме того, при \(t = 0\) график имеет вертикальное направление: \(x = t^2\) обращается в нуль быстрее, чем \(y = t\). Поэтому в точке (0; 0) касательной является прямая \(x = 0\), также проходящая через M.б) Снова положим \(t = \sqrt{x}\). Тогда \(x = t^2\), \(y = t^3 + 4\), где \(t \ge 0\). Невертикальная прямая через M(0; 0) имеет вид \(y = kx\). Уравнение пересечения:\[t^3 + 4 = kt^2,\]
то есть\[t^3 - kt^2 + 4 = 0.\]
При касании положительный корень \(t = r\) должен быть двойным. Поэтому многочлен можно представить в виде\[(t - r)^2(t - s) = t^3 - kt^2 + 4.\]
Сравнивая коэффициенты при t и свободные члены, получаем\[r^2 + 2rs = 0, \quad -r^2s = 4.\]
Так как \(r > 0\), из первого равенства \(s = -\dfrac{r}{2}\). Тогда\[\frac{r^3}{2} = 4,\]
откуда \(r = 2\). Коэффициент при \(t^2\) даёт\[k = 2r + s = 4 - 1 = 3.\]
Следовательно, касательная имеет уравнение \(y = 3x\). Точка касания: \(x = 2^2 = 4\), \(y = 12\).Прямая \(x = 0\) во втором случае не является касательной: в точке \((0; 4)\) касательная горизонтальна и имеет уравнение \(y = 4\).Ответ: а) \(y = \frac{x}{4} + 1\) и \(x = 0\); б) \(y = 3x\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Проведите касательную к графику заданной функции из данной точки М:
а) у = корень(x), М (0; 1);
б) у = x^3/2 + 4, М(0; 0).
