Упр.31.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Построить эскизы графиков функцийС пояснением
а) Построим график по частям:
1) При x < −2 проведём часть прямой y = 0; точку (−2; 0) выколем.
2) Отметим точку (−2; 1) и соединим её с (−1; 2), затем точку (−1; 2) соединим с (1; 0).
3) Из точки (1; 0) вправо проведём возрастающий луч.
В точке \(x = -2\) есть разрыв; \(x = -1\) — точка максимума, \(x = 1\) — точка минимума.б) Отметим точки (−1; 2) и (1; 0) и соединим их отрезком. Влево от первой точки проведём возрастающий луч, а вправо от второй — возрастающую ветвь \(y = 3 - 3/x\). Эта ветвь приближается к прямой y = 3 при x → +∞.
Ответ: получены эскизы с заданными свойствами.
Кратко а) При x < −2 проведите y = 0 с выколотой точкой (−2; 0). Последовательно соедините точки (−2; 1), (−1; 2), (1; 0); из (1; 0) вправо проведите возрастающий луч.б) Соедините точки \((-1; 2)\) и \((1; 0)\). Влево от \((-1; 2)\) проведите возрастающий луч, вправо от \((1; 0)\) — ветвь \(y = 3 - 3/x\), приближающуюся к \(y = 3\).Ответ: эскизы построены.
1) При x < −2 проведём часть прямой y = 0; точку (−2; 0) выколем.
2) Отметим точку (−2; 1) и соединим её с (−1; 2), затем точку (−1; 2) соединим с (1; 0).
3) Из точки (1; 0) вправо проведём возрастающий луч.
В точке \(x = -2\) есть разрыв; \(x = -1\) — точка максимума, \(x = 1\) — точка минимума.б) Отметим точки (−1; 2) и (1; 0) и соединим их отрезком. Влево от первой точки проведём возрастающий луч, а вправо от второй — возрастающую ветвь \(y = 3 - 3/x\). Эта ветвь приближается к прямой y = 3 при x → +∞.
Ответ: получены эскизы с заданными свойствами.
Кратко а) При x < −2 проведите y = 0 с выколотой точкой (−2; 0). Последовательно соедините точки (−2; 1), (−1; 2), (1; 0); из (1; 0) вправо проведите возрастающий луч.б) Соедините точки \((-1; 2)\) и \((1; 0)\). Влево от \((-1; 2)\) проведите возрастающий луч, вправо от \((1; 0)\) — ветвь \(y = 3 - 3/x\), приближающуюся к \(y = 3\).Ответ: эскизы построены.
а) Возьмём функцию
f(x) = x при x < −2;
\(f(x) = \frac{x^3}{3} − x\) при \(x ≥ −2\).При \(x → −2−\) получаем \(f(x) → −2\), а \(f(−2) = −\frac{2}{3}\). Следовательно, в точке x = −2 функция имеет разрыв.Для x > −2:
f(x) = x при x < −2;
\(f(x) = \frac{x^3}{3} − x\) при \(x ≥ −2\).При \(x → −2−\) получаем \(f(x) → −2\), а \(f(−2) = −\frac{2}{3}\). Следовательно, в точке x = −2 функция имеет разрыв.Для x > −2:
\[f'(x)=x^2-1=(x-1)(x+1).\]
Поэтому функция возрастает на \((−2; −1)\), убывает на \((−1; 1)\) и снова возрастает на \((1; +∞)\). Значит, \(x = −1\) — точка максимума, а \(x = 1\) — точка минимума. По этим данным строится эскиз графика.б) Возьмём функцию\[f(x)=3+\frac{x}{x^2+1}.\]
Поскольку \(\frac{x}{x^2 + 1} → 0\) при \(x → +∞\), прямая \(y = 3\) является горизонтальной асимптотой.\[f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}.\]
Функция убывает на (−∞; −1), возрастает на (−1; 1) и убывает на (1; +∞). Следовательно, x = −1 — единственная точка минимума, а x = 1 — единственная точка максимума. Их координаты: \((-1; \dfrac{5}{2})\) и \((1; \dfrac{7}{2})\). По асимптоте и промежуткам монотонности строится эскиз.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
а) Функция имеет разрыв в точке х = -2, максимум в точке х = -1 и минимум в точке х = 1;
б) функция имеет горизонтальную асимптоту у = 3 при х — > бесконечность,
одну точку максимума и одну точку минимума.
